(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se e são sequências tais que , então a é convergente;
(h) ( ) A sequência definida por e é convergente;
(i) ( ) Se , tal que é convergente, então é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então é convergente;
(k) ( ) Se converge e , então converge;
(l) ( ) Se e divergem, então diverge;
(m) ( ) Se converge, então converge;
(n) ( ) Se e divergem, então converge;
(o) ( ) Se diverge, então ;
§ ( ) Se diverge, então diverge;
(q) ( ) Se diverge e , então converge;
® ( ) Se é uma sequência constante, então diverge;
(s) ( ) Se e diverge, então diverge.
(t) ( ) Se e converge, então converge.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação (a): “Toda sequência limitada é convergente”. Estamos trabalhando com o conteúdo de Sucessões (Sequências), especificamente sobre sequências limitadas e convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e o que é convergência de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, uma sequência é chamada de limitada se existe um número real tal que para todo . Isso significa que os termos da sequência não “crescem” além de um certo limite.
Por outro lado, uma sequência é convergente se existe um número real tal que, para qualquer , existe um número natural onde, para todo , . Isso significa que os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um valor específico .
Agora, a pergunta é: Toda sequência que é limitada necessariamente converge?

Passo 3

Embora toda sequência convergente seja necessariamente limitada, o inverso não é verdadeiro. Ou seja, existem sequências que são limitadas mas não convergem. Um exemplo clássico é a sequência , que é limitada porque seus termos são sempre ou , mas não converge porque não se aproxima de nenhum valor específico.

Passo 4

Agora vamos para a afirmação (b): “Toda sequência limitada é monótona”. Estamos novamente lidando com Sucessões (Sequências), desta vez focando em sequências limitadas e monotonicidade. Precisamos entender o que significa uma sequência ser monótona.

Passo 5

Uma sequência é monótona se é crescentes ou decrescentes. Ou seja, para toda , (crescente) ou (decrescente).
A afirmação sugere que se uma sequência é limitada, então ela deve ser monótona. Vamos verificar se isso é verdade.

Passo 6

Consideremos novamente a sequência . Ela é limitada, já que seus termos são sempre ou . No entanto, não é monótona porque alterna entre aumentar e diminuir alternadamente.

Passo 7

Vamos para a afirmação ©: “Toda sequência monótona é limitada”. Estamos analisando sucessões monótonas e sua relação com serem limitadas.

Passo 8

Primeiro, uma sequência monótona pode ser crescente ou decrescente. Uma sequência monótona crescente é aquela onde para todo , e uma decrescente onde para todo .
Queremos saber se toda sequência monótona é necessariamente limitada.

Passo 9

Uma sequência monótona não precisa ser limitada. Por exemplo, a sequência é monótona crescente, mas não é limitada, pois seus termos crescem indefinidamente.
Por outro lado, uma sequência monótona que está limitada é convergente, segundo o Teorema de Convergência para Sequências Monótonas.

Passo 10

Analisemos a afirmação (d): “Toda sequência divergente é não monótona”. Estamos estudando a relação entre sequências divergentes e monotonicidade.

Passo 11

Uma sequência divergente é aquela que não converge, ou seja, não se aproxima de nenhum valor específico. A afirmação sugere que se uma sequência não converge, então ela não é monótona.

Passo 12

No entanto, existem sequências monótonas que divergem. Por exemplo, a sequência é monótona crescente e diverge para o infinito. Outro exemplo é , que é monótona decrescente e também diverge.

Passo 13

Vamos para a afirmação (e): “Toda sequência convergente é monótona”. Estamos tratando de sequências convergentes e sua relação com monotonicidade.

Passo 14

Uma sequência convergente é aquela que se aproxima de um limite . A afirmação sugere que se uma sequência converge, então ela deve ser monótona.

Passo 15

Isso não é verdade. Por exemplo, considere a sequência . Essa sequência converge para 0, pois tende a 0, mas não é monótona porque os termos alternam sinais.

Passo 16

Analisemos a afirmação (f): “Toda sequência divergente é não limitada”. Vamos discutir sequências divergentes e sua relação com serem limitadas.

Passo 17

Uma sequência divergente é aquela que não converge para nenhum limite finito. A afirmação sugere que se uma sequência diverge, então ela não é limitada.

Passo 18

Isso não é necessariamente verdadeiro. Por exemplo, a sequência é divergente, pois alterna entre 1 e -1 e não se aproxima de nenhum valor específico. Porém, ela é limitada, já que seus termos estão sempre entre -1 e 1.

Passo 19

Vamos para a afirmação (g): “Se e são sequências tais que , então é convergente”. Estamos trabalhando com limites de sequências e produtos de sequências.

Passo 20

Sabemos que se e existe (seja finito ou infinito), então , desde que seja limitada.
No entanto, se não for limitada, o produto pode não ter limite.

Passo 21

A afirmação não especifica que é limitada. Considere e . Então , mas para todo , então .
Isso mostra que pode ser convergente mesmo sem ser limitado. Porém, se cresce mais rapidamente, o limite pode não existir.

Passo 22

Vamos analisar a afirmação (h): “A sequência definida por e é convergente”. Estamos trabalhando com recorrência de sequências e convergência.

Passo 23

Vamos tentar encontrar o limite dessa sequência. Suponha que . Então, passando ao limite na recorrência:
Isso não nos dá informação direta. Vamos calcular alguns termos para ver o comportamento:
Parece que , portanto .

Passo 24

Vamos para a afirmação (i): “Se , tal que é convergente, então é convergente”. Estamos analisando comparação de sequências e convergência.

Passo 25

Sabemos que se e para todo , então se é limitada inferiormente, poderíamos afirmar algo. Porém, a convergência de não garante a convergência de .

Passo 26

Considere , que converge para 0. Suponha . Então, para todo , mas também converge para 0. Porém, se escolhermos , ainda converge para 0. Vamos tentar um caso onde não converge:
Escolha (convergente para 1) e , que satisfaz para todo . Entretanto, não converge.

Passo 27

Analisemos a afirmação (j): “Se é convergente, então é convergente”. Parece que há um erro de digitação na afirmação, mas vou interpretar como: “Se é convergente, então é convergente”.

Passo 28

Se converge, isso significa que a sequência dos valores absolutos está se aproximando de um limite. No entanto, isso não garante que em si converge, já que a sequência pode oscilar entre valores positivos e negativos.

Passo 29

Por exemplo, considere . Então, para todo , que converge para 1. Porém, alterna entre 1 e -1 e não converge.

Passo 30

Vamos para a afirmação (k): “Se converge e , então converge”. Estamos trabalhando com séries e comparação de séries.

Passo 31

Sabemos que se e converge, então tende a 0. No entanto, a convergência de depende da taxa com que tende a 0. Se , então , e diverge.

Passo 32

Usando o teste da comparação, já que para , se converge, não necessariamente converge, pois ela pode divergir.

Passo 33

Analisemos a afirmação (l): “Se e divergem, então diverge”. Estamos tratando de séries e comportamento de séries somadas.

Passo 34

Sabemos que a soma de duas séries divergentes pode ter diferentes comportamentos. Não existe uma garantia automática de que a soma de duas séries divergentes também diverge.

Passo 35

Considere e . Ambas as séries e divergem, mas converge para 0.

Passo 36

Vamos para a afirmação (m): “Se converge, então converge”. Estamos trabalhando com séries e convergência de séries.

Passo 37

Se uma série converge, então qualquer “cauda” da série, ou seja, para qualquer , também converge.

Passo 38

Isso ocorre porque a soma a partir de é apenas parte da soma total, e a convergência da série total garante que qualquer parte dela também converge.

Passo 39

Analisemos a afirmação (n): “Se e divergem, então converge”. Estamos tratando de séries e produtos de séries.

Passo 40

A divergência de e não fornece informações suficientes sobre o comportamento de . O produto de duas séries pode ter comportamentos variados.

Passo 41

Considere . Ambas as séries e divergem, mas para todo , então diverge para .
Por outro lado, se , ambas as séries e divergem, mas , e converge.

Passo 42

Vamos para a afirmação (o): "Se diverge, então ". Estamos trabalhando com séries e limites de seus termos.

Passo 43

O teste necessário para a convergência de uma série diz que se , então a série diverge. Contudo, o inverso não é verdadeiro: se a série diverge, não significa necessariamente que o limite dos termos é diferente de zero.

Passo 44

Por exemplo, considere . A série diverge, mas .

Passo 45

Analisemos a afirmação §: “Se diverge, então diverge”. Estamos trabalhando com séries e séries de termos quadrados.

Passo 46

Não há uma relação direta que a divergência de implique a divergência de . Na verdade, pode tender a zero mais rapidamente, possibilitando a convergência.

Passo 47

Por exemplo, seja . A série diverge, mas também diverge. Porém, se , diverge e também diverge.
No entanto, se , diverge, mas diverge. Parece difícil criar um exemplo onde diverge e converge, já que para não convergentes, geralmente não converge.

Passo 48

Vamos para a afirmação (q): “Se diverge e , então converge”. Estamos tratando de séries e séries de inversos.

Passo 49

A relação entre a convergência de e não é direta. A divergência de uma série não implica nada específico sobre a convergência da série de inversos.

Passo 50

Considere . A série diverge, mas também diverge.
Por outro lado, se , diverge, e também não converge.

Passo 51

Analisemos a afirmação ®: “Se é uma sequência constante, então diverge”. Estamos trabalhando com sequências constantes e séries.

Passo 52

Se para algum constante , então é uma série constante .

Passo 53

Se , então a série diverge para ou dependendo do sinal de . Se , a série converge para 0, mas a sequência é constante e igual a 0.

Passo 54

Vamos para a afirmação (s): “Se e diverge, então diverge”. Estamos trabalhando com séries e teste de comparação.

Passo 55

O teste de comparação diz que se e diverge, então também diverge. A condição sugere que é negligible comparado com .

Passo 56

No entanto, neste caso, pode ser suficientemente pequeno para que convirja mesmo que diverja. Por exemplo, seja (série divergente) e (série convergente). Temos .

Passo 57

Analisemos a afirmação (t): “Se e converge, então converge”. Estamos trabalhando com séries e teste limite.

Passo 58

Segundo o teste da comparação, se e converge, então não pode ser comparada diretamente, já que domina .

Passo 59

Na verdade, se , isso sugere que não tende a zero, o que é necessário para a convergência de . Então, provavelmente diverge.
Por exemplo, seja (série convergente) e . Temos , e diverge.

Resposta

A afirmação (t) é falsa. Mesmo com e convergente, pode divergir.

Exercícios relacionados

(a)
(b)
©
Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que .
Use a propriedade polar para calcular o limite