(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se
e
são sequências tais que
, então a
é convergente;
(h) ( ) A sequência
definida por
e
é convergente;
(i) ( ) Se
, tal que
é convergente, então
é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então
é convergente;
(k) ( ) Se
converge e
, então
converge;
(l) ( ) Se
e
divergem, então
diverge;
(m) ( ) Se
converge, então
converge;
(n) ( ) Se
e
divergem, então
converge;
(o) ( ) Se
diverge, então
;
§ ( ) Se
diverge, então
diverge;
(q) ( ) Se
diverge e
, então
converge;
® ( ) Se
é uma sequência constante, então
diverge;
(s) ( ) Se
e
diverge, então
diverge.
(t) ( ) Se
e
converge, então
converge.
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se
(h) ( ) A sequência
(i) ( ) Se
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então
(k) ( ) Se
(l) ( ) Se
(m) ( ) Se
(n) ( ) Se
(o) ( ) Se
§ ( ) Se
(q) ( ) Se
® ( ) Se
(s) ( ) Se
(t) ( ) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação (a): “Toda sequência limitada é convergente”. Estamos trabalhando com o conteúdo de Sucessões (Sequências), especificamente sobre sequências limitadas e convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e o que é convergência de uma sequência.
Passo 2
Primeiro, uma sequência
é chamada de limitada se existe um número real
tal que
para todo
. Isso significa que os termos da sequência não “crescem” além de um certo limite.
Por outro lado, uma sequência é convergente se existe um número real
tal que, para qualquer
, existe um número natural
onde, para todo
,
. Isso significa que os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um valor específico
.
Agora, a pergunta é: Toda sequência que é limitada necessariamente converge?
Passo 3
Embora toda sequência convergente seja necessariamente limitada, o inverso não é verdadeiro. Ou seja, existem sequências que são limitadas mas não convergem. Um exemplo clássico é a sequência
, que é limitada porque seus termos são sempre
ou
, mas não converge porque não se aproxima de nenhum valor específico.
Passo 4
Agora vamos para a afirmação (b): “Toda sequência limitada é monótona”. Estamos novamente lidando com Sucessões (Sequências), desta vez focando em sequências limitadas e monotonicidade. Precisamos entender o que significa uma sequência ser monótona.
Passo 5
Uma sequência é monótona se é crescentes ou decrescentes. Ou seja, para toda
,
(crescente) ou
(decrescente).
A afirmação sugere que se uma sequência é limitada, então ela deve ser monótona. Vamos verificar se isso é verdade.
Passo 6
Consideremos novamente a sequência
. Ela é limitada, já que seus termos são sempre
ou
. No entanto, não é monótona porque alterna entre aumentar e diminuir alternadamente.
Passo 7
Vamos para a afirmação ©: “Toda sequência monótona é limitada”. Estamos analisando sucessões monótonas e sua relação com serem limitadas.
Passo 8
Primeiro, uma sequência monótona pode ser crescente ou decrescente. Uma sequência monótona crescente é aquela onde
para todo
, e uma decrescente onde
para todo
.
Queremos saber se toda sequência monótona é necessariamente limitada.
Passo 9
Uma sequência monótona não precisa ser limitada. Por exemplo, a sequência
é monótona crescente, mas não é limitada, pois seus termos crescem indefinidamente.
Por outro lado, uma sequência monótona que está limitada é convergente, segundo o Teorema de Convergência para Sequências Monótonas.
Passo 10
Analisemos a afirmação (d): “Toda sequência divergente é não monótona”. Estamos estudando a relação entre sequências divergentes e monotonicidade.
Passo 11
Uma sequência divergente é aquela que não converge, ou seja, não se aproxima de nenhum valor específico. A afirmação sugere que se uma sequência não converge, então ela não é monótona.
Passo 12
No entanto, existem sequências monótonas que divergem. Por exemplo, a sequência
é monótona crescente e diverge para o infinito. Outro exemplo é
, que é monótona decrescente e também diverge.
Passo 13
Vamos para a afirmação (e): “Toda sequência convergente é monótona”. Estamos tratando de sequências convergentes e sua relação com monotonicidade.
Passo 14
Uma sequência convergente é aquela que se aproxima de um limite
. A afirmação sugere que se uma sequência converge, então ela deve ser monótona.
Passo 15
Isso não é verdade. Por exemplo, considere a sequência
. Essa sequência converge para 0, pois
tende a 0, mas não é monótona porque os termos alternam sinais.
Passo 16
Analisemos a afirmação (f): “Toda sequência divergente é não limitada”. Vamos discutir sequências divergentes e sua relação com serem limitadas.
Passo 17
Uma sequência divergente é aquela que não converge para nenhum limite finito. A afirmação sugere que se uma sequência diverge, então ela não é limitada.
Passo 18
Isso não é necessariamente verdadeiro. Por exemplo, a sequência
é divergente, pois alterna entre 1 e -1 e não se aproxima de nenhum valor específico. Porém, ela é limitada, já que seus termos estão sempre entre -1 e 1.
Passo 19
Vamos para a afirmação (g): “Se
e
são sequências tais que
, então
é convergente”. Estamos trabalhando com limites de sequências e produtos de sequências.
Passo 20
Sabemos que se
e
existe (seja finito ou infinito), então
, desde que
seja limitada.
No entanto, se
não for limitada, o produto pode não ter limite.
Passo 21
A afirmação não especifica que
é limitada. Considere
e
. Então
, mas
para todo
, então
.
Isso mostra que
pode ser convergente mesmo sem
ser limitado. Porém, se
cresce mais rapidamente, o limite pode não existir.
Passo 22
Vamos analisar a afirmação (h): “A sequência
definida por
e
é convergente”. Estamos trabalhando com recorrência de sequências e convergência.
Passo 23
Vamos tentar encontrar o limite
dessa sequência. Suponha que
. Então, passando ao limite na recorrência:
Isso não nos dá informação direta. Vamos calcular alguns termos para ver o comportamento:
Parece que
, portanto
.
Passo 24
Vamos para a afirmação (i): “Se
, tal que
é convergente, então
é convergente”. Estamos analisando comparação de sequências e convergência.
Passo 25
Sabemos que se
e
para todo
, então se
é limitada inferiormente, poderíamos afirmar algo. Porém, a convergência de
não garante a convergência de
.
Passo 26
Considere
, que converge para 0. Suponha
. Então,
para todo
, mas
também converge para 0. Porém, se escolhermos
, ainda converge para 0. Vamos tentar um caso onde
não converge:
Escolha
(convergente para 1) e
, que satisfaz
para todo
. Entretanto,
não converge.
Passo 27
Analisemos a afirmação (j): “Se
é convergente, então
é convergente”. Parece que há um erro de digitação na afirmação, mas vou interpretar como: “Se
é convergente, então
é convergente”.
Passo 28
Se
converge, isso significa que a sequência dos valores absolutos está se aproximando de um limite. No entanto, isso não garante que
em si converge, já que a sequência pode oscilar entre valores positivos e negativos.
Passo 29
Por exemplo, considere
. Então,
para todo
, que converge para 1. Porém,
alterna entre 1 e -1 e não converge.
Passo 30
Vamos para a afirmação (k): “Se
converge e
, então
converge”. Estamos trabalhando com séries e comparação de séries.
Passo 31
Sabemos que se
e
converge, então
tende a 0. No entanto, a convergência de
depende da taxa com que
tende a 0. Se
, então
, e
diverge.
Passo 32
Usando o teste da comparação, já que
para
, se
converge, não necessariamente
converge, pois ela pode divergir.
Passo 33
Analisemos a afirmação (l): “Se
e
divergem, então
diverge”. Estamos tratando de séries e comportamento de séries somadas.
Passo 34
Sabemos que a soma de duas séries divergentes pode ter diferentes comportamentos. Não existe uma garantia automática de que a soma de duas séries divergentes também diverge.
Passo 35
Considere
e
. Ambas as séries
e
divergem, mas
converge para 0.
Passo 36
Vamos para a afirmação (m): “Se
converge, então
converge”. Estamos trabalhando com séries e convergência de séries.
Passo 37
Se uma série
converge, então qualquer “cauda” da série, ou seja,
para qualquer
, também converge.
Passo 38
Isso ocorre porque a soma a partir de
é apenas parte da soma total, e a convergência da série total garante que qualquer parte dela também converge.
Passo 39
Analisemos a afirmação (n): “Se
e
divergem, então
converge”. Estamos tratando de séries e produtos de séries.
Passo 40
A divergência de
e
não fornece informações suficientes sobre o comportamento de
. O produto de duas séries pode ter comportamentos variados.
Passo 41
Considere
. Ambas as séries
e
divergem, mas
para todo
, então
diverge para
.
Por outro lado, se
, ambas as séries
e
divergem, mas
, e
converge.
Passo 42
Vamos para a afirmação (o): "Se
diverge, então
". Estamos trabalhando com séries e limites de seus termos.
Passo 43
O teste necessário para a convergência de uma série diz que se
, então a série
diverge. Contudo, o inverso não é verdadeiro: se a série diverge, não significa necessariamente que o limite dos termos é diferente de zero.
Passo 44
Por exemplo, considere
. A série
diverge, mas
.
Passo 45
Analisemos a afirmação §: “Se
diverge, então
diverge”. Estamos trabalhando com séries e séries de termos quadrados.
Passo 46
Não há uma relação direta que a divergência de
implique a divergência de
. Na verdade,
pode tender a zero mais rapidamente, possibilitando a convergência.
Passo 47
Por exemplo, seja
. A série
diverge, mas
também diverge. Porém, se
,
diverge e
também diverge.
No entanto, se
,
diverge, mas
diverge. Parece difícil criar um exemplo onde
diverge e
converge, já que para
não convergentes, geralmente
não converge.
Passo 48
Vamos para a afirmação (q): “Se
diverge e
, então
converge”. Estamos tratando de séries e séries de inversos.
Passo 49
A relação entre a convergência de
e
não é direta. A divergência de uma série não implica nada específico sobre a convergência da série de inversos.
Passo 50
Considere
. A série
diverge, mas
também diverge.
Por outro lado, se
,
diverge, e
também não converge.
Passo 51
Analisemos a afirmação ®: “Se
é uma sequência constante, então
diverge”. Estamos trabalhando com sequências constantes e séries.
Passo 52
Se
para algum constante
, então
é uma série constante
.
Passo 53
Se
, então a série
diverge para
ou
dependendo do sinal de
. Se
, a série converge para 0, mas a sequência é constante e igual a 0.
Passo 54
Vamos para a afirmação (s): “Se
e
diverge, então
diverge”. Estamos trabalhando com séries e teste de comparação.
Passo 55
O teste de comparação diz que se
e
diverge, então
também diverge. A condição
sugere que
é negligible comparado com
.
Passo 56
No entanto, neste caso,
pode ser suficientemente pequeno para que
convirja mesmo que
diverja. Por exemplo, seja
(série divergente) e
(série convergente). Temos
.
Passo 57
Analisemos a afirmação (t): “Se
e
converge, então
converge”. Estamos trabalhando com séries e teste limite.
Passo 58
Segundo o teste da comparação, se
e
converge, então
não pode ser comparada diretamente, já que
domina
.
Passo 59
Na verdade, se
, isso sugere que
não tende a zero, o que é necessário para a convergência de
. Então,
provavelmente diverge.
Por exemplo, seja
(série convergente) e
. Temos
, e
diverge.
Resposta
A afirmação (t) é falsa. Mesmo com
e
convergente,
pode divergir.
Exercícios relacionados
(a)
(b)
©
(b)
©
Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que
.
Use a propriedade polar para calcular o limite