A supersonic jet traveling at Mach 3.00 at an altitude of 20.000 m is directly over a person at time
as in Figure P17.47. (a) How long will it be before the person encounters the shock wave? (b) Where will the plane be when it is finally heard? (Assume the speed of sound in air is
.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um jato supersônico voando a Mach 3, ou seja, três vezes a velocidade do som, a uma altitude de 20.000 metros. No instante $ t = 0 $, o avião está diretamente acima de uma pessoa. A pergunta é:
(a) Quanto tempo vai levar para a pessoa sentir a onda de choque?
(b) Onde o avião estará quando essa onda de choque for ouvida?
(b) Onde o avião estará quando essa onda de choque for ouvida?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas de choque e a velocidade do som. A velocidade do som no ar é dada como $ 335 , m/s $.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a velocidade do avião. Como o avião está viajando a Mach 3, multiplicamos a velocidade do som por 3:
Então, o avião está se movendo a $ 1005 , m/s $.
Passo 3
Agora, vamos pensar na forma da onda de choque. Quando um avião voa mais rápido que o som, ele cria uma cone de choque chamado cone de Mach. O ângulo desse cone ($ \phi $) está relacionado ao número de Mach pela fórmula:
No nosso caso, $ Mach = 3 $:
Isso nos ajuda a entender como a onda de choque se propaga em relação ao avião.
Passo 4
Para saber quanto tempo levará para a pessoa sentir a onda de choque, precisamos relacionar a distância que o som percorre com o tempo. A onda de choque sai do avião no instante $ t = 0 $ e viaja até a pessoa. A distância vertical é a altitude do avião, 20.000 m.
A distância que o som percorre até alcançar a pessoa é:
Mas, como o avião está se movendo, precisamos considerar o ângulo do cone de Mach. A fórmula para o tempo $ t $ é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, para descobrir onde o avião estará quando a onda de choque for ouvida, usamos a velocidade do avião e o tempo que acabamos de calcular:
Então, o avião terá viajado aproximadamente 21.200 metros nesse tempo.
Resposta
(a) A pessoa sentirá a onda de choque após aproximadamente 21,1 segundos.
(b) Quando a onda de choque for ouvida, o avião estará a cerca de 21.200 metros de distância.