Supondo que A, B in Mn times n e que [A, B] neq 0, diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras :
(A B)^2=A^2 B^2;
Como mudaria a situação se [A, B]=0 ?

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes quadradas e de ordem . O exercício quer saber se a equação é verdadeira quando o comutador , ou seja, quando e não comutam. Além disso, também queremos entender como essa situação muda se , ou seja, se e comutam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre a multiplicação de matrizes e comutatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para matrizes, a multiplicação não é necessariamente comutativa. Ou seja, nem sempre é igual a . Quando duas matrizes comutam, , e isso simplifica muitas operações.

Passo 3

Vamos expandir o lado esquerdo da equação (A B)^2 = A B A B :
A^2 B^2 = A A B B
Agora, vamos tentar ver se isso é igual a :
Para que , precisamos que , ou seja, que e comutem.

Passo 4

Mas no enunciado, inicialmente, temos que (A B)^2 neq A^2 B^2 , ou seja, e não comutam. Portanto, nessa situação, , o que significa que:
Então, a afirmação não é verdadeira quando .

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece se (A B)^2 = A B A B = A A B B = A^2 B^2 , ou seja, se e comutam. Nesse caso, . Vamos reescrever :
Então, quando e comutam, a igualdade é verdadeira.

Resposta

A afirmação não é verdadeira quando . Porém, se , ou seja, se e comutam, então a igualdade é verdadeira.

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