Supondo que
e que
, diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras :
;
Como mudaria a situação se
?
Como mudaria a situação se
Passo 1
Então, a gente tem duas matrizes quadradas
e
de ordem
. O exercício quer saber se a equação
é verdadeira quando o comutador
, ou seja, quando
e
não comutam. Além disso, também queremos entender como essa situação muda se
, ou seja, se
e
comutam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre a multiplicação de matrizes e comutatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para matrizes, a multiplicação não é necessariamente comutativa. Ou seja,
nem sempre é igual a
. Quando duas matrizes comutam,
, e isso simplifica muitas operações.
Passo 3
Vamos expandir o lado esquerdo da equação
:
Agora, vamos tentar ver se isso é igual a
:
Para que
, precisamos que
, ou seja, que
e
comutem.
Passo 4
Mas no enunciado, inicialmente, temos que
, ou seja,
e
não comutam. Portanto, nessa situação,
, o que significa que:
Então, a afirmação
não é verdadeira quando
.
Passo 5
Agora, vamos ver o que acontece se
, ou seja, se
e
comutam. Nesse caso,
. Vamos reescrever
:
Então, quando
e
comutam, a igualdade
é verdadeira.
Resposta
A afirmação
não é verdadeira quando
. Porém, se
, ou seja, se
e
comutam, então a igualdade
é verdadeira.