Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é -periódica e definida assim:
A gente vai calcular a série de Fourier dessa função. Pra isso, vamos precisar saber sobre séries de Fourier, que são uma maneira de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Vamos calcular os coeficientes , e que vão compor essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função ao longo de um período e é calculado pela fórmula:
Vamos calcular essa integral dividindo em duas partes, já que a função tem duas definições:
A segunda integral é zero, então sobra:
Agora, integramos :
Avaliado de a 0:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes . Eles são dados por:
De novo, dividimos a integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando:
Aplicando os limites:
Calculando:
Como e :
Simplificando:
Esse termo se anula quando é ímpar e é zero quando é par, ou vice-versa, dependendo de . Para simplificar, concluímos que para todos os .
Passo 4
Agora, vamos para os coeficientes :
Dividindo a integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando:
Aplicando os limites:
Calculando:
Simplificando usando :
Sabemos que para todo inteiro , então para todos os .
Resposta
A série de Fourier da função é dada por:
Então, a série de Fourier simplifica-se apenas ao termo constante .