Supondo que as funções abaixo sejam 2 pi - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) f(x) = sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a série de Fourier da função , que é periódica com período . A matéria que estamos mexendo aqui é a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral da série de Fourier para uma função com período :
Aqui, é o coeficiente constante, são os coeficientes dos cossenos e os dos senos. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para a função .

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente . A fórmula para é:
Substituindo :
Sabemos que a integral de de a é zero, porque a área positiva e negativa se cancelam. Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Usando a identidade trigonométrica :
Ambas as integrais de funções senoidais completas sobre um número inteiro de períodos são zero. Portanto, para todo .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Usando a identidade trigonométrica :
Para , ambas as integrais de cossenos completos sobre são zero. Porém, para :
Então, para todo e .

Resposta

A série de Fourier da função é simplesmente:
Isso ocorre porque a função já é um termo fundamental da série de Fourier, sem a necessidade de adicionar mais termos.

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