Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a série de Fourier da função
, que é periódica com período
. A matéria que estamos mexendo aqui é a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral da série de Fourier para uma função
com período
:
Aqui,
é o coeficiente constante,
são os coeficientes dos cossenos e
os dos senos. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para a função
.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Sabemos que a integral de
de
a
é zero, porque a área positiva e negativa se cancelam. Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Ambas as integrais de funções senoidais completas sobre um número inteiro de períodos são zero. Portanto,
para todo
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Para
, ambas as integrais de cossenos completos sobre
são zero. Porém, para
:
Então,
para todo
e
.
Resposta
A série de Fourier da função
é simplesmente:
Isso ocorre porque a função já é um termo fundamental da série de Fourier, sem a necessidade de adicionar mais termos.