Supondo que à gota de ảgua seja lançada com uma velocidade inicial v0 de 15 ms^-1, fazendo um ângulo theta de 40^circ acima da superficie horizontal da água. Considere a posição inicial da gota de água na origem O .
Quanto tempo t4 a gota leva para atingir a água novamente (y=0)? Expresse o resultado em função de v0, theta eg.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis! A situação é que uma gota d’água é lançada com uma velocidade inicial de 15 , m/s num ângulo de 40^circ acima da horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo, que vamos chamar de t4, a gota leva para voltar e tocar a água novamente, ou seja, quando sua posição vertical ( y) for igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. Isso porque, no movimento de projéteis, a velocidade inicial pode ser dividida em duas componentes: uma na direção do eixo x (horizontal) e outra na direção do eixo y (vertical).
A componente horizontal da velocidade ( v0x) é dada por:
v0x = v0 cdot cos(theta)
E a componente vertical da velocidade ( v0y) é:
v0y = v0 cdot sin(theta)

Passo 3

Agora, vamos focar no movimento vertical para encontrar o tempo total de voo. Sabemos que a aceleração na vertical é devido à gravidade, que vamos chamar de g (aproximadamente 9,8 , m/s^2, mas manteremos g para generalizar).
A posição vertical da gota em função do tempo é dada pela equação:
y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2
Queremos encontrar o tempo t4 quando y(t) = 0.

Passo 4

Substituindo y(t) = 0 na equação, temos:
0 = v0 cdot sin(theta) cdot t4 - 12 g t4^2
Podemos fatorar t4:
t4 ( v0 cdot sin(theta) - 12 g t4 ) = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis: t4 = 0 (quando a gota está na origem) e a outra solução que nos interessa.

Passo 5

Resolvendo para t4:
v0 cdot sin(theta) - 12 g t4 = 0
12 g t4 = v0 cdot sin(theta)
t4 = 2 v0 cdot sin(theta)g

Resposta

O tempo que a gota leva para atingir a água novamente é:
t4 = 2 v0 cdot sin(theta)g

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