Supondo que à gota de ảgua seja lançada com uma velocidade inicial
de
, fazendo um ângulo
de
acima da superficie horizontal da água. Considere a posição inicial da gota de água na origem O .
Sejam
e
os vetores posição e velocidade de uma gota de água no instante
:
Escreva (justificando) as leis horárias do movimento (equações dos movimentos unidimensionais vertical e horizontal). Qual a trajetória da gota? Justifique sua resposta estabelecendo a equação da trajetória.
Sejam
Passo 1
Beleza, então vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma gota d’água que é lançada com uma velocidade inicial de $ v_0 = 15 , m/s $ fazendo um ângulo de $ \theta = 40^\circ $ acima da horizontal. A posição inicial da gota é na origem, ou seja, $ O $. A pergunta é para escrever as leis do movimento para as direções vertical e horizontal e depois determinar a trajetória da gota.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de movimento projectile ou movimento de projétil, que envolve decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical, aplicar as equações de movimento uniformemente acelerado na vertical (devido à gravidade) e movimento retilíneo uniforme na horizontal (já que não há aceleração nessa direção). No final, vamos combinar essas equações para encontrar a trajetória da gota.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial $ v_0 $ nas direções horizontal e vertical. Isso é importante porque o movimento da gota acontece em duas direções, e a gente precisa tratar cada uma separadamente.
A componente horizontal da velocidade ($ v_{0x} $) é dada por:
E a componente vertical da velocidade ($ v_{0y} $) é:
Com $ v_0 = 15 , m/s $ e $ \theta = 40^\circ $, podemos calcular:
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações do movimento para cada direção.
Movimento Horizontal:
Na direção horizontal, não há aceleração (a menos que consideremos resistência do ar, mas como não foi mencionado, vamos ignorar). Então, o movimento é retilíneo e uniforme. A equação da posição $ x(t) $ é:
Substituindo $ v_{0x} $:
Movimento Vertical:
Na direção vertical, a aceleração é a da gravidade $ g = 9,8 , m/s^2 $ (que atua para baixo). A equação da posição $ y(t) $ é:
Substituindo $ v_{0y} $:
Passo 4
Agora que temos as equações de $ x(t) $ e $ y(t) $, vamos encontrar a trajetória da gota, que é a relação entre $ y $ e $ x $.
Primeiro, resolvemos a equação de $ x(t) $ para $ t $:
Agora, substituímos esse $ t $ na equação de $ y(t) $:
Simplificando:
Calculando os coeficientes:
Resposta
A trajetória da gota de água é dada pela equação $ y = 0,839x - 0,037x^2 $, que descreve um caminho parabólico.