Supondo que o lucro de uma empresa, em centenas de milhares de reais, seja dado por
L(x) = 6 x / (3 x² + 27), x ≥ 0
em que x indica a quantidade de milhares de unidades vendidas, resolva os itens abaixo. (veja video)
b Após determinar os intervalos onde L'(x) é positiva (negativa), decida em quais intervalos L(x) é crescente (decrescente).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o lucro de uma empresa é dado por uma função , onde representa a quantidade de milhares de unidades vendidas. A nossa missão aqui é descobrir em quais intervalos a derivada é positiva ou negativa e, com isso, determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . Vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra. A regra diz que se , então:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar onde é positiva ou negativa. O denominador é sempre positivo, já que é um quadrado. Portanto, o sinal de depende apenas do numerador .
Vamos resolver a inequação :
Mas como (segundo o enunciado), ficamos com:
Então, quando .
Por outro lado, para :
Então, quando .

Passo 4

Com base nisso, podemos concluir que:
  • Quando , a função está crescendo.
  • Quando , a função está decrescendo.
Portanto:
  • é crescente no intervalo .
  • é decrescente no intervalo .

Resposta

A função é crescente no intervalo e decrescente para .

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