Supondo que o lucro de uma empresa, em centenas de milhares de reais, seja dado por
em que
indica a quantidade de milhares de unidades vendidas, resolva os itens abaixo. (veja video)
Após determinar os intervalos onde
é positiva (negativa), decida em quais intervalos
é crescente (decrescente).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o lucro de uma empresa é dado por uma função
, onde
representa a quantidade de milhares de unidades vendidas. A nossa missão aqui é descobrir em quais intervalos a derivada
é positiva ou negativa e, com isso, determinar onde a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e análise de sinais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. Vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra. A regra diz que se
, então:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar onde
é positiva ou negativa. O denominador
é sempre positivo, já que é um quadrado. Portanto, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Vamos resolver a inequação
:
Mas como
(segundo o enunciado), ficamos com:
Então,
quando
.
Por outro lado, para
:
Então,
quando
.
Passo 4
Com base nisso, podemos concluir que:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo.
Portanto:
-
é crescente no intervalo . -
é decrescente no intervalo .
Resposta
A função
é crescente no intervalo
e decrescente para
.