Supondo que o lucro de uma empresa, em centenas de milhares de reais, seja dado por
L(x) = 6 x / (3 x² + 27), x ≥ 0
em que x indica a quantidade de milhares de unidades vendidas, resolva os itens abaixo. (veja video)
a Calcule a taxa de variação do lucro.

Resolução Verificada

Passo 1

Vamos resumir o que o problema pede: Temos uma função que mostra o lucro de uma empresa em centenas de milhares de reais, dada por , onde é a quantidade de milhares de unidades vendidas. O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente a taxa de variação, que corresponde à derivada dessa função em relação a . Para resolver, vamos calcular a derivada de usando as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a função que precisamos derivar: . Como essa é uma função que envolve uma fração de duas funções, vamos utilizar a Regra do Quociente para encontrar sua derivada.

Passo 3

A Regra do Quociente diz que, se temos uma função da forma , sua derivada é:
Aqui, e . Precisamos encontrar as derivadas e .

Passo 4

Calculando a derivada de :

Passo 5

Calculando a derivada de :

Passo 6

Aplicando a Regra do Quociente:

Passo 7

Simplificando o numerador:

Passo 8

Podemos fatorar o numerador:

Passo 9

Portanto, a derivada da função lucro é:

Resposta

A taxa de variação do lucro, ou seja, a derivada de em relação a , é:

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