Supondo que o lucro de uma empresa, em centenas de milhares de reais, seja dado por
em que
indica a quantidade de milhares de unidades vendidas, resolva os itens abaixo. (veja video)
Usando os dois itens acima, faça um esboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item © do exercício juntos! O enunciado pede para fazer um esboço do gráfico da função lucro
, onde
representa a quantidade de milhares de unidades vendidas. Vamos precisar de conhecimentos sobre gráficos de funções racionais, identificar assíntotas, interceptos e o comportamento da função para desenhar um esboço bacana.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Podemos fatorar o denominador:
Isso facilita a análise da função.
Passo 3
Vamos encontrar as interceptações com os eixos.
Intercepto com o eixo y: É quando
.
Então, o gráfico passa pela origem
.
Interceptos com o eixo x: São os mesmos pontos onde o lucro é zero, que já encontramos:
.
Passo 4
Agora, vamos procurar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais: Ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é.
Não há soluções reais, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais: Observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Portanto, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função:
- Para
, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então . - A função começa em
, cresce até um certo ponto e depois decresce, aproximando-se de conforme aumenta.
Para encontrar o ponto de máximo, derivamos
:
Igualando a zero:
Então, o ponto de máximo ocorre em
.
Calculando
:
Portanto, o ponto máximo é
.
Passo 6
Agora, com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Passa pela origem
. - Tem um ponto máximo em
. - Não possui assíntotas verticais.
- Possui uma assíntota horizontal em
. - A função é crescente de
até e decrescente após , aproximando-se de quando tende ao infinito.
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta uma curva que começa na origem, atinge o ponto máximo em
, e depois decresce, aproximando-se da assíntota horizontal
à medida que
aumenta. Não há assíntotas verticais.