Supondo que o lucro de uma empresa, em centenas de milhares de reais, seja dado por
L(x) = 6 x / (3 x² + 27), x ≥ 0
em que x indica a quantidade de milhares de unidades vendidas, resolva os itens abaixo. (veja video)
c Usando os dois itens acima, faça um esboço do gráfico de L(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item © do exercício juntos! O enunciado pede para fazer um esboço do gráfico da função lucro , onde representa a quantidade de milhares de unidades vendidas. Vamos precisar de conhecimentos sobre gráficos de funções racionais, identificar assíntotas, interceptos e o comportamento da função para desenhar um esboço bacana.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos fatorar o denominador:
Isso facilita a análise da função.

Passo 3

Vamos encontrar as interceptações com os eixos.
Intercepto com o eixo y: É quando .
Então, o gráfico passa pela origem .
Interceptos com o eixo x: São os mesmos pontos onde o lucro é zero, que já encontramos: .

Passo 4

Agora, vamos procurar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais: Ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é.
Não há soluções reais, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais: Observamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
Portanto, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função:
  • Para , tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então .
  • A função começa em , cresce até um certo ponto e depois decresce, aproximando-se de conforme aumenta.
Para encontrar o ponto de máximo, derivamos :
Igualando a zero:
Então, o ponto de máximo ocorre em .
Calculando :
Portanto, o ponto máximo é .

Passo 6

Agora, com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Passa pela origem .
  • Tem um ponto máximo em .
  • Não possui assíntotas verticais.
  • Possui uma assíntota horizontal em .
  • A função é crescente de até e decrescente após , aproximando-se de quando tende ao infinito.

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta uma curva que começa na origem, atinge o ponto máximo em , e depois decresce, aproximando-se da assíntota horizontal à medida que aumenta. Não há assíntotas verticais.

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