Suponha que 2,50 mol de um gás ideal, em 292 K e 3,50 atm, se expanda de 6,00 L a 24,0 L e atinja a pressão de final de 4,15 atm por dois caminhos diferentes. (a) O caminho A é uma expansão isotérmica reversível. (b) O caminho B tem duas partes. Na primeira etapa 1 , o gás se expande para o volume de 20,0 L até atingir uma pressão de 2,75 atm. Na etapa 2 , ele é aquecido e se expande contra uma pressão constante igual de 4,15 atm até que o volume atinja a 24,0 L e T= 292 K. Determine o trabalho realizado, o calor transferido e a troca da energia interna para os dois caminhos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem 2,50 mol de um gás ideal que está a 292 K e 3,50 atm, ocupando um volume de 6,00 L. Esse gás se expande até 24,0 L e chega a uma pressão final de 4,15 atm. A pergunta quer saber o trabalho realizado, o calor transferido e a variação da energia interna para dois caminhos diferentes de expansão. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e as equações da termodinâmica relacionadas ao trabalho e ao calor em processos isotérmicos e isobáricos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde o gás se expande de forma isotérmica reversível. “Isotérmica” significa que a temperatura permanece constante durante todo o processo.

Passo 3

Em um processo isotérmico para um gás ideal, a variação da energia interna ( De) é zero, porque a energia interna depende apenas da temperatura, que não mudou. Então:
De

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho ( W) realizado durante essa expansão isotérmica. A fórmula para o trabalho em um processo isotérmico é:
W = -nRT ln(VfVi)
Onde:
  • n é o número de mols (2,50 mol)
  • R é a constante dos gases (0,0821 L·atm/mol·K)
  • T é a temperatura (292 K)
  • Vi é o volume inicial (6,00 L)
  • Vf é o volume final (24,0 L)
Substituindo os valores:
W = -2,50 times 0,0821 times 292 times ln(24,06,00)
Calculando o logaritmo natural:
ln(4) approx 1,386
Então:
W = -2,50 times 0,0821 times 292 times 1,386 approx -2,50 times 0,0821 times 292 times 1,386 approx -2,50 times 0,0821 times 292 times 1,386 approx -73,9 L·atm
Convertendo para joules (1 L·atm ≈ 101,325 J):
W approx -73,9 times 101,325 approx -7.494 J

Passo 5

Agora, vamos determinar o calor ( Q) transferido durante o processo isotérmico. Sabemos que:
De
Como De, então:
Q = -W
Portanto:
Q approx 7.494 J

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), onde o caminho B tem duas etapas:
  1. Etapa 1: O gás se expande de 6,00 L para 20,0 L, reduzindo a pressão para 2,75 atm.
  2. Etapa 2: O gás é aquecido e expandido a pressão constante de 4,15 atm até atingir 24,0 L e 292 K.
Vamos calcular trabalho, calor e variação de energia para cada etapa.

Passo 7

Etapa 1: Expansão de 6,00 L para 20,0 L a pressão variável.
Como a pressão muda de 3,50 atm para 2,75 atm durante a expansão, podemos usar a fórmula do trabalho para expansão a pressão variável:
W1 = -integralVi^Vf P , dV
Como a pressão não é constante, mas varia linearmente, podemos calcular a média das pressões iniciais e finais:
Pmédia = Pi + Pf2 = 3,50 + 2,752 = 3,125 atm é
Então:
W1 = -Pmédia times Deé
Convertendo para joules:
W1 approx -43,75 times 101,325 approx -4.430 J

Passo 8

Para encontrar o calor Q1 na Etapa 1, usamos:
De
Primeiro, calculamos a variação da energia interna ( De). Para um gás ideal:
De
Como a temperatura não é dada, assumimos que houve mudança de temperatura durante a expansão. Para encontrar De, usamos a equação dos gases:
Pi Vi = nRTi Pf Vf = nRTf
Então:
Pi ViTi = Pf VfTf 3,50 times 6,00292 = 2,75 times 20,0Tf 21,00292 = 55,00Tf Tf = 55,00 times 29221,00 approx 764,76 K
Então, a variação de temperatura:
De
Assumindo que o gás é diatômico, Cv = 52R. Então:
De
Agora, isolamos Q1:
242,375 = Q1 - 4.430 Q1 = 242,375 + 4.430 approx 246,805 J

Passo 9

Etapa 2: Expansão de 20,0 L para 24,0 L a pressão constante de 4,15 atm e temperatura constante de 292 K.
Como é a pressão constante e temperatura constante, podemos calcular o trabalho e o calor facilmente.
Primeiro, o trabalho W2:
W2 = -P De
Convertendo para joules:
W2 approx -16,6 times 101,325 approx -1.681,29 J
Como a temperatura é constante, a variação da energia interna ( De) é zero:
De
Então, usando De:
0 = Q2 - 1.681,29 Q2 = 1.681,29 J

Passo 10

Agora, somamos as contribuições das duas etapas para o caminho B:
  • Trabalho total WB = W1 + W2 = -4.430 J -1.681,29 J approx -6.111,29 J
  • Calor total QB = Q1 + Q2 = 246,805 J + 1.681,29 J approx 248,486 J
  • Variação da energia interna De

Resposta

Caminho A (Isotérmico Reversível):
  • Trabalho realizado: WA approx -7.494 J
  • Calor transferido: QA approx 7.494 J
  • Variação da energia interna: De
Caminho B (Duas Etapas):
  • Trabalho realizado: WB approx -6.111 J
  • Calor transferido: QB approx 248,486 J
  • Variação da energia interna: De

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