Suponha que 2,50 mol de um gás ideal, em 292 K e 3,50 atm, se expanda de
a
e atinja a pressão de final de
por dois caminhos diferentes. (a) O caminho A é uma expansão isotérmica reversível. (b) O caminho B tem duas partes. Na primeira etapa 1 , o gás se expande para o volume de
até atingir uma pressão de
. Na etapa 2 , ele é aquecido e se expande contra uma pressão constante igual de
até que o volume atinja a
e
292 K. Determine o trabalho realizado, o calor transferido e a troca da energia interna para os dois caminhos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem 2,50 mol de um gás ideal que está a 292 K e 3,50 atm, ocupando um volume de 6,00 L. Esse gás se expande até 24,0 L e chega a uma pressão final de 4,15 atm. A pergunta quer saber o trabalho realizado, o calor transferido e a variação da energia interna para dois caminhos diferentes de expansão. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e as equações da termodinâmica relacionadas ao trabalho e ao calor em processos isotérmicos e isobáricos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde o gás se expande de forma isotérmica reversível. “Isotérmica” significa que a temperatura permanece constante durante todo o processo.
Passo 3
Em um processo isotérmico para um gás ideal, a variação da energia interna (
) é zero, porque a energia interna depende apenas da temperatura, que não mudou. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho (
) realizado durante essa expansão isotérmica. A fórmula para o trabalho em um processo isotérmico é:
Onde:
-
é o número de mols (2,50 mol) -
é a constante dos gases (0,0821 L·atm/mol·K) -
é a temperatura (292 K) -
é o volume inicial (6,00 L) -
é o volume final (24,0 L)
Substituindo os valores:
Calculando o logaritmo natural:
Então:
Convertendo para joules (1 L·atm ≈ 101,325 J):
Passo 5
Agora, vamos determinar o calor (
) transferido durante o processo isotérmico. Sabemos que:
Como
, então:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), onde o caminho B tem duas etapas:
- Etapa 1: O gás se expande de 6,00 L para 20,0 L, reduzindo a pressão para 2,75 atm.
- Etapa 2: O gás é aquecido e expandido a pressão constante de 4,15 atm até atingir 24,0 L e 292 K.
Vamos calcular trabalho, calor e variação de energia para cada etapa.
Passo 7
Etapa 1: Expansão de 6,00 L para 20,0 L a pressão variável.
Como a pressão muda de 3,50 atm para 2,75 atm durante a expansão, podemos usar a fórmula do trabalho para expansão a pressão variável:
Como a pressão não é constante, mas varia linearmente, podemos calcular a média das pressões iniciais e finais:
Então:
Convertendo para joules:
Passo 8
Para encontrar o calor
na Etapa 1, usamos:
Primeiro, calculamos a variação da energia interna (
). Para um gás ideal:
Como a temperatura não é dada, assumimos que houve mudança de temperatura durante a expansão. Para encontrar
, usamos a equação dos gases:
Então:
Então, a variação de temperatura:
Assumindo que o gás é diatômico,
. Então:
Agora, isolamos
:
Passo 9
Etapa 2: Expansão de 20,0 L para 24,0 L a pressão constante de 4,15 atm e temperatura constante de 292 K.
Como é a pressão constante e temperatura constante, podemos calcular o trabalho e o calor facilmente.
Primeiro, o trabalho
:
Convertendo para joules:
Como a temperatura é constante, a variação da energia interna (
) é zero:
Então, usando
:
Passo 10
Agora, somamos as contribuições das duas etapas para o caminho B:
- Trabalho total
- Calor total
- Variação da energia interna
Resposta
Caminho A (Isotérmico Reversível):
- Trabalho realizado:
- Calor transferido:
- Variação da energia interna:
Caminho B (Duas Etapas):
- Trabalho realizado:
- Calor transferido:
- Variação da energia interna: