Suponha que C seja o gráfico da equação f(x, y) = 1 e que essa equação defina y implicitamente como uma função diferenciável de x. Se o ponto (2,1) pertence a C com f_x(2,1) = 3 e f_y(2,1)=-1, então a reta tangente a C no ponto (2,1) tem inclinação \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1

Passo 1

O enunciado nos diz que temos uma curva definida pela equação . Essa equação relaciona as variáveis e de modo que, para cada , existe um correspondente que satisfaz a equação. Nosso objetivo é encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto específico . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a regra da cadeia para derivadas implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente em um ponto é dada pela derivada da função naquele ponto. Como é definida implicitamente em termos de , usamos a derivada implícita. A fórmula para a derivada de em relação a ( ) quando é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Sabemos do enunciado que no ponto :
Vamos substituir esses valores na fórmula da derivada implícita:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
Isso significa que a inclinação da reta tangente à curva no ponto é .

Resposta

A reta tangente à curva no ponto tem inclinação .

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