Suponha que
seja o gráfico da equação
e que essa equação defina
implicitamente como uma função diferenciável de
. Se o ponto
pertence a
com
e
, então a reta tangente a
no ponto
tem inclinação
・
Passo 1
O enunciado nos diz que temos uma curva
definida pela equação
. Essa equação relaciona as variáveis
e
de modo que, para cada
, existe um
correspondente que satisfaz a equação. Nosso objetivo é encontrar a inclinação da reta tangente à curva
no ponto específico
. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a regra da cadeia para derivadas implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente em um ponto é dada pela derivada da função naquele ponto. Como
é definida implicitamente em termos de
, usamos a derivada implícita. A fórmula para a derivada de
em relação a
(
) quando
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Sabemos do enunciado que no ponto
:
Vamos substituir esses valores na fórmula da derivada implícita:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão:
Isso significa que a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto
tem inclinação
.
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