Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
é analítica em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
é analítica em todo o conjunto dos números complexos
. Isso envolve entender sobre funções analíticas na matemática complexa e identificar onde essa função pode ou não ter algum problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser analítica. Em termos simples, uma função é analítica em um domínio se ela é diferenciável em todos os pontos desse domínio. Isso quer dizer que conseguimos calcular a derivada da função em qualquer ponto desse espaço sem encontrar nenhum obstáculo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Aqui,
é uma constante (talvez representando a unidade imaginária, dependendo do contexto). A questão é verificar em quais pontos dessa função ela está bem definida e se é diferenciável nesses pontos.
Passo 4
Observando a função
, vemos que ela envolve uma divisão por
. Isso nos alerta para possíveis problemas quando o denominador for zero, ou seja, quando
. Nesses casos, a função não está definida, o que significa que ela não pode ser diferenciada nesse ponto.
Passo 5
Como a função
não está definida em
, ela apresenta uma singularidade nesse ponto. Isso quer dizer que, embora ela possa ser diferenciável em todos os outros pontos de
, ela não é analítica em todo o plano complexo devido a essa falha em
.
Resposta
Portanto, a afirmação de que
é analítica em
não é verdadeira, já que a função não está definida nem é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
, não é analítica para todo
.
Suponha que a corrente em um circuito elétrico satisfaça a equação
, com
e
constantes positivas. Mostre que
quando
.
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
não é analítica em
.
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
, é analítica para todo
.