Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: é analítica em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função é analítica em todo o conjunto dos números complexos . Isso envolve entender sobre funções analíticas na matemática complexa e identificar onde essa função pode ou não ter algum problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser analítica. Em termos simples, uma função é analítica em um domínio se ela é diferenciável em todos os pontos desse domínio. Isso quer dizer que conseguimos calcular a derivada da função em qualquer ponto desse espaço sem encontrar nenhum obstáculo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Aqui, é uma constante (talvez representando a unidade imaginária, dependendo do contexto). A questão é verificar em quais pontos dessa função ela está bem definida e se é diferenciável nesses pontos.

Passo 4

Observando a função , vemos que ela envolve uma divisão por . Isso nos alerta para possíveis problemas quando o denominador for zero, ou seja, quando . Nesses casos, a função não está definida, o que significa que ela não pode ser diferenciada nesse ponto.

Passo 5

Como a função não está definida em , ela apresenta uma singularidade nesse ponto. Isso quer dizer que, embora ela possa ser diferenciável em todos os outros pontos de , ela não é analítica em todo o plano complexo devido a essa falha em .

Resposta

Portanto, a afirmação de que é analítica em não é verdadeira, já que a função não está definida nem é diferenciável no ponto .

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