Suponha que uma cultura de peixes é iniciada com 100 kg de alevinos de um mês de idade e que enquanto a idade deles está entre 1 e 10 meses , sua passa pode ser aproximada por um polinômio de grau 3 . Se ao atingirem 2 meses de idade sua massa total é de 350 kg , ao atingirem 3 meses a massa total é de 1.020 kg e ao atingirem a idade de 4 meses a massa deles é 1.990 kg , determine o polinômio de grau 3 em questão. Utilize este polinômio para estimar a massa total dos peixes quando eles atingirem a idade de 10 meses.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma criação de peixes que começa com 100 kg de alevinos de um mês. A gente sabe que, entre 1 e 10 meses de idade, o crescimento dos peixes pode ser aproximado por um polinômio de grau 3. Além disso, temos alguns dados específicos: aos 2 meses, a massa total é de 350 kg; aos 3 meses, 1.020 kg; e aos 4 meses, 1.990 kg. O que a gente precisa fazer é encontrar esse polinômio de grau 3 e, com ele, estimar qual será a massa total dos peixes quando eles atingirem 10 meses de idade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau 3. Basicamente, é uma equação que descreve uma curva usando termos até o cubo da variável. No nosso caso, a variável é o tempo (idade dos peixes em meses) e a equação vai nos ajudar a relacionar esse tempo com a massa total dos peixes. A forma geral de um polinômio de grau 3 é:
Aqui, representa a massa total dos peixes no tempo , e , , , e são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos usar os dados que temos para montar um sistema de equações e encontrar os valores de , , e . Sabemos que:
Quando mês, kg:
Quando meses, kg:
Quando meses, kg:
Quando meses, kg:
Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos subtrair a primeira equação das demais para eliminar :
--> Equação (5)
--> Equação (6)
--> Equação (7)
Agora, vamos simplificar um pouco mais. Podemos multiplicar a Equação (5) por 2 e subtrair da Equação (6):
Subtraindo da Equação (6):
--> Equação (8)
Agora, vamos multiplicar a Equação (5) por 3 e subtrair da Equação (7):
Subtraindo da Equação (7):
--> Equação (9)
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
Vamos subtrair a Equação (8) da Equação (9):
Agora que temos , podemos substituir na Equação (8):
Agora, vamos substituir e na Equação (5):
Finalmente, substituímos , e na primeira equação para encontrar :
Passo 5
Agora que encontramos todos os coeficientes, podemos escrever o polinômio de grau 3:
Para verificar se está certo, podemos substituir e ver se obtemos as massas correspondentes, o que confirma nossa solução.
Resposta
O polinômio que descreve a massa total dos peixes em função da idade é:
Usando esse polinômio, a massa total dos peixes aos 10 meses de idade é aproximadamente 3.390 kg.