Suponha que uma cultura de peixes é iniciada com 100 kg de alevinos de um mês de idade e que enquanto a idade deles está entre 1 e 10 meses , sua passa pode ser aproximada por um polinômio de grau 3 . Se ao atingirem 2 meses de idade sua massa total é de 350 kg , ao atingirem 3 meses a massa total é de 1.020 kg e ao atingirem a idade de 4 meses a massa deles é 1.990 kg , determine o polinômio de grau 3 em questão. Utilize este polinômio para estimar a massa total dos peixes quando eles atingirem a idade de 10 meses.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma criação de peixes que começa com 100 kg de alevinos de um mês. A gente sabe que, entre 1 e 10 meses de idade, o crescimento dos peixes pode ser aproximado por um polinômio de grau 3. Além disso, temos alguns dados específicos: aos 2 meses, a massa total é de 350 kg; aos 3 meses, 1.020 kg; e aos 4 meses, 1.990 kg. O que a gente precisa fazer é encontrar esse polinômio de grau 3 e, com ele, estimar qual será a massa total dos peixes quando eles atingirem 10 meses de idade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau 3. Basicamente, é uma equação que descreve uma curva usando termos até o cubo da variável. No nosso caso, a variável é o tempo (idade dos peixes em meses) e a equação vai nos ajudar a relacionar esse tempo com a massa total dos peixes. A forma geral de um polinômio de grau 3 é:
Aqui, representa a massa total dos peixes no tempo , e , , , e são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos usar os dados que temos para montar um sistema de equações e encontrar os valores de , , e . Sabemos que:
Quando mês, kg:
Quando meses, kg:
Quando meses, kg:
Quando meses, kg:
Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos subtrair a primeira equação das demais para eliminar 7a + 3b + c = 250 :