Suponha que uma cultura de peixes é iniciada com 100 kg de alevinos de um mês de idade e que enquanto a idade deles está entre 1 e 10 meses , sua passa pode ser aproximada por um polinômio de grau 3 . Se ao atingirem 2 meses de idade sua massa total é de 350 kg , ao atingirem 3 meses a massa total é de 1.020 kg e ao atingirem a idade de 4 meses a massa deles é 1.990 kg , determine o polinômio de grau 3 em questão. Utilize este polinômio para estimar a massa total dos peixes quando eles atingirem a idade de 10 meses.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma criação de peixes que começa com 100 kg de alevinos de um mês. A gente sabe que, entre 1 e 10 meses de idade, o crescimento dos peixes pode ser aproximado por um polinômio de grau 3. Além disso, temos alguns dados específicos: aos 2 meses, a massa total é de 350 kg; aos 3 meses, 1.020 kg; e aos 4 meses, 1.990 kg. O que a gente precisa fazer é encontrar esse polinômio de grau 3 e, com ele, estimar qual será a massa total dos peixes quando eles atingirem 10 meses de idade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de grau 3. Basicamente, é uma equação que descreve uma curva usando termos até o cubo da variável. No nosso caso, a variável é o tempo (idade dos peixes em meses) e a equação vai nos ajudar a relacionar esse tempo com a massa total dos peixes. A forma geral de um polinômio de grau 3 é:
M(t) = a t^3 + b t^2 + c t + d
Aqui, representa a massa total dos peixes no tempo , e , , , e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos usar os dados que temos para montar um sistema de equações e encontrar os valores de a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 100 , a + b + c + d = 100 , a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 350 e 8a + 4b + 2c + d = 350 . Sabemos que:
  1. Quando a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) + d = 1020 mês, 27a + 9b + 3c + d = 1020 kg:
a(4)^3 + b(4)^2 + c(4) + d = 1990
64a + 16b + 4c + d = 1990
  1. Quando a + b + c + d = 100 8a + 4b + 2c + d = 350 27a + 9b + 3c + d = 1020 64a + 16b + 4c + d = 1990 meses, kg:
  1. Quando meses, kg:
  1. Quando meses, kg:
Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos subtrair a primeira equação das demais para eliminar 7a + 3b + c = 250 :
  1. 26a + 8b + 2c = 920
63a + 15b + 3c = 1890 --> Equação (5)
  1. 2 times (7a + 3b + c) = 14a + 6b + 2c = 500
(26a + 8b + 2c) - (14a + 6b + 2c) = 920 - 500 --> Equação (6)
  1. 12a + 2b = 420
6a + b = 210 --> Equação (7)
Agora, vamos simplificar um pouco mais. Podemos multiplicar a Equação (5) por 2 e subtrair da Equação (6):
3 times (7a + 3b + c) = 21a + 9b + 3c = 750
Subtraindo da Equação (6):
(63a + 15b + 3c) - (21a + 9b + 3c) = 1890 - 750
42a + 6b = 1140
7a + b = 190 --> Equação (8)
Agora, vamos multiplicar a Equação (5) por 3 e subtrair da Equação (7):
6a + b = 210 7a + b = 190
Subtraindo da Equação (7):
(7a + b) - (6a + b) = 190 - 210
a = -20
6(-20) + b = 210 --> Equação (9)
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
-120 + b = 210
Vamos subtrair a Equação (8) da Equação (9):
b = 330
7(-20) + 3(330) + c = 250
Agora que temos -140 + 990 + c = 250 , podemos substituir na Equação (8):
850 + c = 250
c = -600
-20 + 330 - 600 + d = 100
Agora, vamos substituir -290 + d = 100 e d = 390 na Equação (5):
Finalmente, substituímos , e na primeira equação para encontrar :

Passo 5

Agora que encontramos todos os coeficientes, podemos escrever o polinômio de grau 3:
M(t) = -20 t^3 + 330 t^2 - 600 t + 390
Para verificar se está certo, podemos substituir e ver se obtemos as massas correspondentes, o que confirma nossa solução.

Resposta

O polinômio que descreve a massa total dos peixes em função da idade é:
M(t) = -20 t^3 + 330 t^2 - 600 t + 390
Usando esse polinômio, a massa total dos peixes aos 10 meses de idade é aproximadamente 3.390 kg.

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