Se
e
não são paralelos, então
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá dizendo. Temos dois vetores,
e
, que não são paralelos. A questão quer mostrar que se a combinação linear
é igual a outra combinação
, então os coeficientes
tem que ser igual a
e
tem que ser igual a
. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como
e
não são paralelos, isso significa que eles são linearmente independentes. Em termos simples, nenhum dos vetores pode ser escrito como um múltiplo do outro.
Passo 3
Agora, vamos analisar a igualdade dada:
. A gente pode rearranjar isso para juntar os termos semelhantes:
Simplificando, fica:
Passo 4
Agora, sabemos que se a combinação linear de vetores linearmente independentes é igual ao vetor nulo (
), então os coeficientes de cada vetor nessa combinação devem ser zero. Isso é por causa da definição de independência linear.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso:
Isso implica que:
Resposta
Então, mostramos que
e
.
Exercícios relacionados
Suponha que uma cultura de peixes é iniciada com 100 kg de alevinos de um mês de idade e que enquanto a idade deles está entre 1 e 10 meses , sua passa pode ser aproximada por um polinômio de grau 3 . Se ao atingirem 2 meses de idade sua massa total é de 350 kg , ao atingirem 3 meses a massa total é de 1.020 kg e ao atingirem a idade de 4 meses a massa deles é 1.990 kg , determine o polinômio de grau 3 em questão. Utilize este polinômio para estimar a massa total dos peixes quando eles atingirem a idade de 10 meses.
Forme as matrizes
e
definidas pelas relações:
Escreva a matriz linha
do tipo
tal que
.
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.