Se u e v não são paralelos, então alpha u+beta v= gamma u+de e beta=de.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá dizendo. Temos dois vetores, e , que não são paralelos. A questão quer mostrar que se a combinação linear é igual a outra combinação , então os coeficientes tem que ser igual a e tem que ser igual a . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como e não são paralelos, isso significa que eles são linearmente independentes. Em termos simples, nenhum dos vetores pode ser escrito como um múltiplo do outro.

Passo 3

Agora, vamos analisar a igualdade dada: alpha u + beta v - gamma u - de. A gente pode rearranjar isso para juntar os termos semelhantes:
(alpha - gamma) u + (beta - de
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora, sabemos que se a combinação linear de vetores linearmente independentes é igual ao vetor nulo ( ), então os coeficientes de cada vetor nessa combinação devem ser zero. Isso é por causa da definição de independência linear.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso:
alpha - gamma = 0 e beta - de
Isso implica que:
alpha = gamma e beta = de

Resposta

Então, mostramos que e .

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