Suponha que o erro máximo a ser cometido para estimar a média populacional seja ε. Desse modo, qualquer valor no intervalo [μ-ε,μ+ε] é uma boa estimativa. Para assimilar melhor, suponha que queiramos estimar a verdadeira média populacional μ=1,70 m das alturas de certo grupo de atletas e, para isso, queremos cometer um erro máximo de ε=2 cm. Portanto, qualquer valor pertencente ao intervalo [1,68 m; 1,72 m] servirá. Além disso, para acompanhar essa estimativa, suponha que queremos ter uma probabilidade de acerto de γ=95%, como margem de segurança. De acordo com os dados apresentados e sabendo que σ=10 cm, qual o tamanho mínimo da amostra que terá que ser coletada para estimar a média populacional? Selecione uma alternativa:
a)Aproximadamente 10 elementos.
b)Aproximadamente 54 elementos.
c)Aproximadamente 78 elementos.
d)Aproximadamente 82 elementos.
e)Aproximadamente 97 elementos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre estimar a média das alturas de um grupo de atletas. A média real é μ = 1,70 m, e queremos que nosso cálculo não erre mais do que ε = 2 cm. Além disso, queremos ter uma confiança de 95% nesse resultado. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalo de confiança e tamanho de amostra.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que queremos encontrar o tamanho mínimo da amostra (n) que nos dê essa precisão na estimativa da média. Para isso, usamos a fórmula do tamanho da amostra para a média, que considera a margem de erro, o desvio padrão da população e o nível de confiança desejado.

Passo 3

A fórmula para calcular o tamanho da amostra é:
n = ( Zalpha/2 times sigmavarepsilon )^2
Onde:
  • $ Z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
  • $ \varepsilon $ é a margem de erro máxima permitida.

Passo 4

Vamos identificar cada parte da fórmula com os dados que temos:
  • Nível de confiança (γ) = 95%, então $ \alpha = 1 - 0.95 = 0.05 $ e $ \alpha/2 = 0.025 $. O valor de $ Z_{0.025} $ na tabela Z é aproximadamente 1,96.
  • Desvio padrão (σ) = 10 cm.
  • Margem de erro (ε) = 2 cm.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:
n = ( 1,96 times 102 )^2

Passo 6

Calculando dentro dos parênteses primeiro:
1,96 times 102 = 19,62 = 9,8

Passo 7

Agora, elevamos ao quadrado esse resultado:
n = (9,8)^2 = 96,04

Passo 8

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
n approx 97

Resposta

A alternativa correta é e) Aproximadamente 97 elementos.

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