Suponha que o erro máximo a ser cometido para estimar a média populacional seja ε. Desse modo, qualquer valor no intervalo [μ-ε,μ+ε] é uma boa estimativa. Para assimilar melhor, suponha que queiramos estimar a verdadeira média populacional μ=1,70 m das alturas de certo grupo de atletas e, para isso, queremos cometer um erro máximo de ε=2 cm. Portanto, qualquer valor pertencente ao intervalo [1,68 m; 1,72 m] servirá. Além disso, para acompanhar essa estimativa, suponha que queremos ter uma probabilidade de acerto de γ=95%, como margem de segurança. De acordo com os dados apresentados e sabendo que σ=10 cm, qual o tamanho mínimo da amostra que terá que ser coletada para estimar a média populacional? Selecione uma alternativa:
a)Aproximadamente 10 elementos.
b)Aproximadamente 54 elementos.
c)Aproximadamente 78 elementos.
d)Aproximadamente 82 elementos.
e)Aproximadamente 97 elementos.
a)Aproximadamente 10 elementos.
b)Aproximadamente 54 elementos.
c)Aproximadamente 78 elementos.
d)Aproximadamente 82 elementos.
e)Aproximadamente 97 elementos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre estimar a média das alturas de um grupo de atletas. A média real é μ = 1,70 m, e queremos que nosso cálculo não erre mais do que ε = 2 cm. Além disso, queremos ter uma confiança de 95% nesse resultado. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalo de confiança e tamanho de amostra.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que queremos encontrar o tamanho mínimo da amostra (n) que nos dê essa precisão na estimativa da média. Para isso, usamos a fórmula do tamanho da amostra para a média, que considera a margem de erro, o desvio padrão da população e o nível de confiança desejado.
Passo 3
A fórmula para calcular o tamanho da amostra é:
Onde:
- $ Z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
- $ \varepsilon $ é a margem de erro máxima permitida.
Passo 4
Vamos identificar cada parte da fórmula com os dados que temos:
- Nível de confiança (γ) = 95%, então $ \alpha = 1 - 0.95 = 0.05 $ e $ \alpha/2 = 0.025 $. O valor de $ Z_{0.025} $ na tabela Z é aproximadamente 1,96.
- Desvio padrão (σ) = 10 cm.
- Margem de erro (ε) = 2 cm.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 6
Calculando dentro dos parênteses primeiro:
Passo 7
Agora, elevamos ao quadrado esse resultado:
Passo 8
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
A alternativa correta é e) Aproximadamente 97 elementos.