Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
g)
;
g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você me mandou. A gente tem uma relação dada:
E uma equação diferencial ordinária (EDO):
O objetivo aqui é verificar se essa relação é realmente uma solução geral dessa EDO. Pra isso, vamos seguir alguns passos usando conceitos de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução geral de uma EDO. Basicamente, é uma relação que envolve uma ou mais constantes (no caso,
) que satisfaz a equação diferencial para qualquer valor dessas constantes.
Passo 3
Para verificar se a relação dada é uma solução da EDO, precisamos derivar a relação em relação a
e ver se chegamos à expressão da EDO.
Começamos com:
Vamos aplicar o logaritmo natural (
) em ambos os lados para simplificar a derivação:
Passo 4
Agora, usamos propriedades dos logaritmos para separar os termos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia:
Derivando termo a termo:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Fatorando
:
Passo 7
Observe que a derivada que obtivemos:
É exatamente a mesma que foi dada na EDO original.
Resposta
Sim, a relação
é uma solução geral da EDO
, pois ao derivar a relação e simplificar, chegamos exatamente à expressão da EDO apresentada.
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Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
c) ;
c)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
b) ;
b)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
i) ;
i)
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Determinar a derivada direcional da temperatura no ponto
e na direção de
.