Suponha que um gêiser esguiche água
formando um ângulo de 30° com a horizontal, e que a velocidade do esguicho seja de 12 m/s. Use cos 30° = 2√3, sen 30º = 2,√3 =1,73, adote g = 10 m/s² e despreze aresistência do ar. Sabendo que um gêiser esguicha água quente, potencialmente capaz de produzir queimaduras, a distância mínima recomendável para observá-lo é?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a distância mínima que a água de um gêiser quente percorre quando é lançada com uma velocidade de 12 m/s formando um ângulo de 30° com a horizontal. A matéria que vamos usar aqui é cinemática, mais especificamente, o movimento de projéteis. Para resolver isso, vamos precisar separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical usando seno e cosseno, e depois calcular o tempo que a água fica no ar para finalmente descobrir a distância horizontal que ela percorre.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal ( Vx) e vertical ( Vy). Usamos as fórmulas:
Vx = V cdot cos(theta)
Vy = V cdot sin(theta)
Onde:
  • V = 12, m/s (velocidade inicial)
  • theta = 30^circ (ângulo de lançamento)
  • cos(30^circ) = raiz32 approx 0,866
  • sin(30^circ) = 12 = 0,5
Então:
Vx = 12 cdot raiz32 = 12 cdot 0,866 approx 10,392, m/s
Vy = 12 cdot 12 = 6, m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo total que a água fica no ar. Para isso, usamos a fórmula do movimento vertical, considerando que a água sobe até um ponto máximo e depois desce de volta ao solo. A aceleração devido à gravidade ( g) é de 10, m/s^2 e atua para baixo.
O tempo para a água atingir a altura máxima ( tsubida) é dado por:
tsubida = Vyg = 610 = 0,6, s
Como o tempo de subida é igual ao tempo de descida, o tempo total ( ttotal) é:
ttotal = 2 cdot tsubida = 2 cdot 0,6 = 1,2, s

Passo 4

Com o tempo total que a água fica no ar, podemos calcular a distância horizontal percorrida ( d) usando a fórmula:
d = Vx cdot ttotal
Substituindo os valores:
d = 10,392, m/s cdot 1,2, s approx 12,47, m

Resposta

A distância mínima recomendável para observar o gêiser sem risco de queimaduras é de aproximadamente 12,47 metros.

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