Use os traços para esboçar e identificar a superfície de equação: x^2+y^2+4 y=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos desenhar e identificar a superfície que ela representa. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre círculos, e aprenderemos a completar o quadrado para simplificar a equação.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para facilitar o entendimento. Temos:
x^2 + y^2 + 4y = 0
Observe que os termos e estão presentes, o que sugere que estamos lidando com uma equação de segundo grau em duas variáveis.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte que envolve o (42)^2 = 4 . Focalizamos na expressão x^2 + y^2 + 4y + 4 - 4 = 0 . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de x^2 + (y + 2)^2 - 4 = 0 , que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos reescrever a equação na forma padrão de um círculo, que é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Comparando com a nossa equação:
x^2 + (y + 2)^2 = 4
Podemos ver que , e . Portanto, o centro do círculo é e o raio é .

Resposta

A superfície é um círculo com centro em e raio igual a .

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