Verifique se a série converge utilizando o Teste da Comparação e Comparação no Limite (quando for o caso):
sumn=1^infty raiz[3]nraizn^3+4 n+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a série infinita
sumn=1^infty raiz[3]nraizn^3+4 n+3
converge ou não, usando o Teste da Comparação e, se necessário, a Comparação no Limite. Para isso, vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicar algumas técnicas de comparação de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série tem a forma:
raiz[3]nraizn^3+4 n+3
Podemos reescrever os radicais usando potências fracionárias:
n^1/3(n^3 + 4n + 3)^1/2

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando n^3 + 4n + 3 approx n^3 tende ao infinito. Para facilitar, vamos simplificar o denominador observando que, para valores grandes de , o termo dominante é . Então, podemos aproximar:
isso porque os outros termos se tornam insignificantes comparados a quando é muito grande.

Passo 4

Com essa aproximação, a expressão fica:
n^1/3(n^3)^1/2 = n^1/3n^3/2 = n^1/3 - 3/2 = n^-7/6
Portanto, a série original se comporta de forma semelhante à série:
sumn=1^infty 1n^7/6

Passo 5

Sabemos que a série converge se (isso é conhecido como teste da série p). No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, essa série comparativa converge.

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação. Como os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos da série convergente que encontramos ( ), podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Comparação.

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