Verifique se a série converge utilizando o Teste da Comparação e Comparação no Limite (quando for o caso):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a série infinita
converge ou não, usando o Teste da Comparação e, se necessário, a Comparação no Limite. Para isso, vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicar algumas técnicas de comparação de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série tem a forma:
Podemos reescrever os radicais usando potências fracionárias:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito. Para facilitar, vamos simplificar o denominador observando que, para valores grandes de
, o termo dominante é
. Então, podemos aproximar:
isso porque os outros termos se tornam insignificantes comparados a
quando
é muito grande.
Passo 4
Com essa aproximação, a expressão fica:
Portanto, a série original se comporta de forma semelhante à série:
Passo 5
Sabemos que a série
converge se
(isso é conhecido como teste da série p). No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, essa série comparativa converge.
Passo 6
Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação. Como os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos da série convergente que encontramos (
), podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.