Suponha que uma molécula de nitrogênio atue como uma esfera rígida com um raio de 1,60 Å. Se você tem uma câmara de vácuo com
de lado, que pressão deve ser aplicada para que uma molécula de nitrogênio, indo de um lado para o outro, tenha uma chance razoável de não colide com outra molécula de nitrogênio (isto é, o livre caminho médio é de
)? Considere a temperatura de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma molécula de nitrogênio que se comporta como uma esfera rígida com raio de 1,60 Å. A pergunta é: qual pressão a gente precisa aplicar num vácuo de 1 metro de lado pra que essa molécula tenha chance de andar 1 metro sem bater em outra molécula de nitrogênio? A temperatura tá em 22°C. Vamos usar a teoria cinética dos gases e a fórmula do caminho livre médio pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades pra facilitar. O raio da molécula é 1,60 Å (Ångstrom), e 1 Å = 1 x 10⁻¹⁰ metros. Então:
- Raio = 1,60 x 10⁻¹⁰ m
- Diâmetro (d) = 2 x raio = 3,20 x 10⁻¹⁰ m
A temperatura de 22°C em Kelvin é:
- T = 22 + 273 = 295 K
Passo 3
A fórmula do caminho livre médio (λ) é:
Onde:
-
é o caminho livre médio (1,00 m) -
é a constante de Boltzmann (1,38 x 10⁻²³ J/K) -
é a temperatura em Kelvin -
é o diâmetro da molécula -
é a pressão que queremos encontrar
Passo 4
Vamos rearranjar a fórmula pra isolar a pressão
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores:
Passo 6
Calculando o denominador primeiro:
Passo 7
Calculando o numerador:
Passo 8
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Resposta
A pressão necessária é aproximadamente 8,96 × 10⁻³ Pascal.
Exercícios relacionados
Suponha que o raio de um átomo de criptônio, considerado uma esfera rígida, seja 1,85 Å. Calcule o livre caminho médio dos átomos de criptônio a
e à pressão de 1,0 bar.
Calcule a velocidade média
, a velocidade quadrática média
a velocidade mais provável
de uma molécula de oxigênio,
, a 300 K e a 500 K . Compare com os valores para a molécula de hidrogênio,
.
(a) Compare a velocidade média de uma molécula de oxigênio,
, com a de uma molécula de tetracloreto de carbono,
, a
.
(b) Compare as suas energias cinéticas.
(a) Compare a velocidade média
(b) Compare as suas energias cinéticas.
A que pressão o livre caminho médio do argônio a
torna-se comparável aos diâmetros dos próprios átomos, isto é,
? Obs.:
.
O xenônio tem um diâmetro de esfera rígida muito grande, igual a 4,00 Å. Para uma amostra de
do gás xenônio, com volume de
, pressão de 1,00 bar e temperatura de 273,15 K, determine a frequência de colisão.