Suponha que uma molécula de nitrogênio atue como uma esfera rígida com um raio de 1,60 Å. Se você tem uma câmara de vácuo com 1,00 m de lado, que pressão deve ser aplicada para que uma molécula de nitrogênio, indo de um lado para o outro, tenha uma chance razoável de não colide com outra molécula de nitrogênio (isto é, o livre caminho médio é de 1,00 m )? Considere a temperatura de 22^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma molécula de nitrogênio que se comporta como uma esfera rígida com raio de 1,60 Å. A pergunta é: qual pressão a gente precisa aplicar num vácuo de 1 metro de lado pra que essa molécula tenha chance de andar 1 metro sem bater em outra molécula de nitrogênio? A temperatura tá em 22°C. Vamos usar a teoria cinética dos gases e a fórmula do caminho livre médio pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades pra facilitar. O raio da molécula é 1,60 Å (Ångstrom), e 1 Å = 1 x 10⁻¹⁰ metros. Então:
  • Raio = 1,60 x 10⁻¹⁰ m
  • Diâmetro (d) = 2 x raio = 3,20 x 10⁻¹⁰ m
A temperatura de 22°C em Kelvin é:
  • T = 22 + 273 = 295 K

Passo 3

A fórmula do caminho livre médio (λ) é:
lambda = kB cdot Traiz2 cdot pi cdot d^2 cdot P
Onde:
  • é o caminho livre médio (1,00 m)
  • é a constante de Boltzmann (1,38 x 10⁻²³ J/K)
  • é a temperatura em Kelvin
  • é o diâmetro da molécula
  • é a pressão que queremos encontrar

Passo 4

Vamos rearranjar a fórmula pra isolar a pressão P = kB cdot Traiz2 cdot pi cdot d^2 cdot lambda :

Passo 5

Agora, substituímos os valores:
P = 1,38 times 10^-23 , J/K times 295 , Kraiz2 times pi times (3,20 times 10^-10 , m)^2 times 1,00 , m

Passo 6

Calculando o denominador primeiro:
raiz2 approx 1,414 pi approx 3,1416 d^2 = (3,20 times 10^-10)^2 = 1,024 times 10^-19 , m^2 Denominador = 1,414 times 3,1416 times 1,024 times 10^-19 approx 4,550 times 10^-19 , m^2

Passo 7

Calculando o numerador:
kB cdot T = 1,38 times 10^-23 , J/K times 295 , K approx 4,071 times 10^-21 , J

Passo 8

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
P = 4,071 times 10^-214,550 times 10^-19 approx 8,96 times 10^-3 , Pa

Resposta

A pressão necessária é aproximadamente 8,96 × 10⁻³ Pascal.

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