Suponha uma montanha russa sem atrito como mostrado na figura abaixo. O raio da volta da montanha russa é . a) A que altura deve ser solto (do repouso) um objeto para que ele consiga realizar uma volta completa? b) Caso ele complete a volta, que altura ele atingirá depois (subindo pelos trilhos)? Explique. PS: Lembre-se que a aceleração centripeta deve ser, no mínimo, igual à aceleraçāo da gravidade no topo para que o objeto consiga realizar a curva.

Passo 1

Então, temos uma montanha-russa sem atrito com um raio de volta igual a . Precisamos descobrir duas coisas:
a) Qual a altura de onde o objeto deve ser solto para completar uma volta inteira.
b) Se ele completar a volta, até que altura ele conseguirá subir novamente nos trilhos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e aceleração centrípeta. Vamos precisar entender como a energia potencial e a energia cinética se relacionam nessa situação, além de aplicar a condição mínima para que o objeto consiga passar pela curva da montanha-russa.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). Queremos encontrar a altura mínima de onde o objeto deve ser solto para que ele consiga realizar uma volta completa na montanha-russa.
Para isso, precisamos garantir que no ponto mais alto da volta (no topo do loop), a aceleração centrípeta seja pelo menos igual à aceleração da gravidade . Isso garante que o objeto não caia no meio do loop.
A condição mínima é dada por:
Onde é a velocidade do objeto no topo do loop.

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação da energia para relacionar a altura inicial com a velocidade no topo do loop.
A energia potencial no início é transformada em energia cinética e energia potencial no topo do loop:
Aqui, é a altura do topo do loop.

Passo 4

Substituímos a condição mínima para na equação de energia:
Simplificando, podemos cancelar o de todos os termos:

Passo 5

Agora, dividimos ambos os lados por para encontrar :

Passo 6

Passando para a parte b), queremos saber até que altura o objeto irá subir novamente após completar a volta.
Como não há atrito, a energia total permanece constante. Já sabemos que a energia inicial se converte novamente em energia potencial na subida.
Assim, na subida, ele alcançará a mesma altura de onde foi solto, ou seja, .

Resposta

a) A altura mínima de onde o objeto deve ser solto é .
b) Após completar a volta, o objeto atinge novamente a altura de ao subir pelos trilhos.

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