Suponha que um ponto material desloca ao longo do eixo x tendo a posição dada por f(t) = 4t^2 - 2 + 3t, onde t é medido em segundos e f(t) em centímetros. Assinale a alternativa que representa a velocidade instantânea quando t = 1
a) 5 cm/seg
b) 17 cm/seg
c) -6 cm/seg
d) 11 cm/seg
%o

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move ao longo do eixo com a posição dada por . Aqui, é o tempo em segundos e está em centímetros. O que a gente precisa descobrir é qual é a velocidade instantânea desse ponto quando segundo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a derivada da função posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular , que é a derivada de .
A função posição é:
Derivando cada termo:
  • A derivada de é (usamos a regra do poder: trazemos o expoente para multiplicar e diminuímos o expoente em 1).
  • A derivada de uma constante como é .
  • A derivada de é .
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora que temos a expressão para a velocidade instantânea , vamos substituir para encontrar a velocidade nesse instante específico.
Substituindo na fórmula:
Portanto, a velocidade instantânea quando segundo é de 11 centímetros por segundo.

Resposta

A velocidade instantânea quando segundo é 11 cm/s, ou seja, a alternativa d).

Exercícios relacionados

Considere a função y = (3*x^5 + 1) / (x^2 - 3), verifique se as sentenças são verdadeiras:
a) A função não é contínua no ponto x = raiz(3) pois tem uma assíntota vertical dada pela reta constante x = raiz(3)
b) A função tem assintota horizontal dada pela reta y = 3.
c) A derivada da função y é y' = (15 x + 1) / (x^4 - 9).
d) A derivada da função y é y' = (9 x^6 - 45 x^4 + 2 x) / (x^4 - 9)
e) A derivada da função y é y' = 15 x^4 / (2 x).
Considere a função f(x) = (3 - 2 x)(x^3 + 4 x), assinale a alternativa correta:
a) f'(x) = (-2 x)(3 x^2 + 4)
b) f'(x) = 9 x^2 - 12 x + 16 x^2 - 8 x^3
c) f'(x) = (1 - 2x)(x^2 + 4)
d) f'(x) = 9 x^2 + 12 - 8 x^3 - 16 x
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:
( ) A derivada da função f(x) = pi^x é f'(x) = x * pi^(x - 1).
(a) y = (2 x + 1) / (x - 2)
(b) y = (x^2 + 1) / (2 x^2 - 3 x - 2)
© y = (2*x^2 + x - 1) / (x^2 + x - 2)
(d) y = (1 + x^4) / (x^2 - x^4)
(e) y = (x^3 - x) / (x^2 - 6x + 5)
(f) y = 2 e^x / (e^x - 5)