Suponha que a proporção P de pessoas afetadas por certa doença seja descrita por
onde
é o tempo em meses.
(a) Verifique que a taxa na qual
cresce é dada por
(a) Verifique que a taxa na qual
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a proporção
de pessoas afetadas por uma doença está relacionada ao tempo
(em meses) pela equação:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a taxa de crescimento dessa proporção
em relação ao tempo, ou seja, calcular
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada lado da igualdade.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado direito da equação, que é mais simples:
Isso porque a derivada de
em relação a
é 1, e multiplicamos pela constante 0,5.
Passo 4
Agora, vamos para o lado esquerdo. Precisamos diferenciar
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos as duas partes da equação diferenciada:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A taxa de crescimento da proporção
é dada por: