Suponha que a proporção P de pessoas afetadas por certa doença seja descrita por
ln(P/(1-P)) = 0,5 t
onde t é o tempo em meses.
(a) Verifique que a taxa na qual P cresce é dada por
dP/dt = 0,5 P(1-P)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a proporção de pessoas afetadas por uma doença está relacionada ao tempo (em meses) pela equação:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a taxa de crescimento dessa proporção em relação ao tempo, ou seja, calcular . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada lado da igualdade.

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado direito da equação, que é mais simples:
Isso porque a derivada de em relação a é 1, e multiplicamos pela constante 0,5.

Passo 4

Agora, vamos para o lado esquerdo. Precisamos diferenciar em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos as duas partes da equação diferenciada:
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A taxa de crescimento da proporção é dada por:

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