Suponha . Prove:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, para qualquer número positivo , a desigualdade é equivalente a ou . Aqui, estamos lidando com o conceito de valor absoluto na matemática, que basicamente mede a distância de um número até zero na reta numérica. Para resolver isso, vamos entender o que significa e mostrar que isso acontece exatamente quando é menor que ou maior que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o valor absoluto representa. Ele é definido como:
Ou seja, sempre dá a distância de até zero, ignorando o sinal.

Passo 3

Agora, vamos analisar a desigualdade . Isto significa que a distância de até zero é maior que . Há duas possibilidades para isso acontecer:
  1. está à direita de na reta numérica, ou seja, .
  2. está à esquerda de na reta numérica, ou seja, .

Passo 4

Vamos dividir em dois casos para provar a equivalência:
Caso 1:
Se é maior que , então certamente . Portanto, essa parte da equivalência está certa.
Caso 2:
Se é menor que , então (já que é negativo) e como , multiplicando por inverte a desigualdade:
Então, também nesse caso, é verdadeiro.

Passo 5

Agora, precisamos garantir que se , então necessariamente ou . Vamos supor que e analisar:
Se , então ou ou , que é o mesmo que . Assim, mostramos que:

Resposta

Portanto, provamos que para qualquer :

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Utilizando o exercício 7, fatore o polinômio do grau.
Elimine o módulo
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