Suponha
. Prove:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, para qualquer número positivo
, a desigualdade
é equivalente a
ou
. Aqui, estamos lidando com o conceito de valor absoluto na matemática, que basicamente mede a distância de um número até zero na reta numérica. Para resolver isso, vamos entender o que significa
e mostrar que isso acontece exatamente quando
é menor que
ou maior que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o valor absoluto
representa. Ele é definido como:
Ou seja,
sempre dá a distância de
até zero, ignorando o sinal.
Passo 3
Agora, vamos analisar a desigualdade
. Isto significa que a distância de
até zero é maior que
. Há duas possibilidades para isso acontecer:
-
está à direita de na reta numérica, ou seja, . -
está à esquerda de na reta numérica, ou seja, .
Passo 4
Vamos dividir em dois casos para provar a equivalência:
Caso 1:
Se
é maior que
, então certamente
. Portanto, essa parte da equivalência está certa.
Caso 2:
Se
é menor que
, então
(já que
é negativo) e como
, multiplicando por
inverte a desigualdade:
Então, também nesse caso,
é verdadeiro.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que se
, então necessariamente
ou
. Vamos supor que
e analisar:
Se
, então ou
ou
, que é o mesmo que
. Assim, mostramos que:
Resposta
Portanto, provamos que para qualquer
:
Exercícios relacionados
Resolva as inequações:
Suponha
reais quaisquer, prove:
Utilizando o exercício 7, fatore o polinômio do
grau.
Elimine o módulo
,