Suponha que f seja uma função derivável tal que f(g(x)) = x e f'(x) = 1 + [f(x)]^2. Montre que g'(x) = 1 / (1 + x^2).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma função derivável que satisfaz e cuja derivada é . Nosso objetivo é mostrar que a derivada de , ou seja, , é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e funções inversas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que se e são funções inversas, elas satisfazem e . Uma propriedade importante das derivadas de funções inversas é que:
Essa fórmula nos permite relacionar as derivadas de e .

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
Sabemos que , então substituímos na expressão:

Passo 4

Mas, de acordo com o enunciado, sabemos que . Então podemos substituir por na expressão anterior:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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