Suponha que
seja uma função derivável tal que
e
. Montre que
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma função derivável
que satisfaz
e cuja derivada é
. Nosso objetivo é mostrar que a derivada de
, ou seja,
, é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e funções inversas.
Passo 2
Primeiro, lembramos que se
e
são funções inversas, elas satisfazem
e
. Uma propriedade importante das derivadas de funções inversas é que:
Essa fórmula nos permite relacionar as derivadas de
e
.
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
Sabemos que
, então substituímos na expressão:
Passo 4
Mas, de acordo com o enunciado, sabemos que
. Então podemos substituir
por
na expressão anterior:
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
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