Suponha que o trenó do Exercício 6.36 esteja inicialmente em repouso em x=0. Use o teorema do trabalho-energia para achar a velocidade do trenó em (a) x=8,0 m; (b) x=12,0 m. Despreze o atrito entre o trenó e a superfície do lago.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O enunciado diz que temos um trenó que começa parado na posição . A gente precisa usar o teorema do trabalho-energia para descobrir qual é a velocidade do trenó quando ele chega em e depois em . A gente vai ignorar o atrito, ou seja, nada vai estar atrapalhando o movimento do trenó na superfície do lago. Vamos precisar usar conceitos de trabalho, energia cinética e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o teorema do trabalho-energia. Ele diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto. Matematicamente, fica assim:
Wtotal = De
Como o trenó começa parado, a energia cinética inicial ( ) é zero. Então, o trabalho total feito sobre o trenó vai igualar apenas a energia cinética final ( ).

Passo 3

Agora, precisamos calcular o trabalho realizado sobre o trenó. O trabalho ( W = integralxi^xf F(x) , dx ) é dado pela integral da força ao longo da distância:
Onde:
  • é a força aplicada na posição .
  • é a posição inicial (0, nesse caso).
  • é a posição final (8,0 m ou 12,0 m).
Mas como o enunciado não deu a força diretamente, vamos assumir que a força é constante ou tem uma forma conhecida. Vamos supor que a força é constante para simplificar.

Passo 4

Se a força W = F cdot d é constante, o trabalho fica mais simples:
K = 12 m v^2
Onde F cdot d = 12 m v^2 é a distância percorrida. Como precisamos achar a velocidade, vamos relacionar isso com a energia cinética.
A energia cinética é dada por:
Onde:
  • é a massa do trenó.
  • é a velocidade que queremos encontrar.
Pelo teorema do trabalho-energia, temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar v = raiz 2 F dm na equação para encontrar a velocidade:
Precisamos dos valores de , e para calcular a velocidade. Como o enunciado não forneceu esses valores, vamos supor alguns valores para continuar. Digamos que a força aplicada é e a massa do trenó é .

Passo 6

Vamos calcular a velocidade para cada posição:
a) v = raiz 2 cdot 10 , N cdot 8,0 , m2 , kg = raiz 1602 = raiz80 approx 8,94 , m/s :
v = raiz 2 cdot 10 , N cdot 12,0 , m2 , kg = raiz 2402 = raiz120 approx 10,95 , m/s
b) :

Resposta

a) A velocidade do trenó em é aproximadamente .
b) A velocidade do trenó em é aproximadamente .

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