Em t=0, uma partícula que se move em um eixo x está na posição x0=-20 m. Os sinais da velocidade inicial v0 (no instante t0 ) e da aceleração constante a da partícula são, respectivamente, para quatro situações: (1),++ ; (2),± ; (3),-+ ; (4) -, -. Em quais das situações a partícula (a) pára momentaneamente, (b) passa pela origem e © não passa pela origem?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Movimento Uniformemente Variado (MUV). Nele, uma partícula está inicialmente na posição no eixo e tem uma velocidade inicial e uma aceleração constante com sinais específicos em quatro situações diferentes. Precisamos descobrir, para cada situação, se a partícula (a) para momentaneamente, (b) passa pela origem e © não passa pela origem. Para isso, vamos usar as equações do movimento com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação da posição no MUV:
x(t) = x0 + v0 t + 12 a t^2
E também da equação da velocidade:
v(t) = v0 + a t
Vamos analisar cada situação com base nos sinais de e .

Passo 3

Situação (1): 0 = v0 + a t implies t = -v0a , 0 = -20 + v0 t + 12 a t^2
  • (a) Para momentaneamente: A partícula pára momentaneamente se a velocidade . Como e são positivos, seria negativo, o que não faz sentido no nosso contexto. Então, a partícula nunca para.
  • (b) Passa pela origem: Procuramos . Essa é uma equação quadrática que pode ter solução positiva, indicando que a partícula passa pela origem.
  • © Não passa pela origem: Não ocorre, pois a partícula passa pela origem.

Passo 4

Situação (2): t = -v0a , 0 = -20 + v0 t + 12 a t^2
  • (a) Para momentaneamente: Aqui, é negativo, então será positivo. Logo, a partícula para momentaneamente.
  • (b) Passa pela origem: Após parar, a partícula pode voltar para . Existe solução positiva, então a partícula passa pela origem.
  • © Não passa pela origem: Não ocorre, pois a partícula passa pela origem.

Passo 5

Situação (3): t = -v0a , 0 = -20 + v0 t + 12 a t^2
  • (a) Para momentaneamente: Com negativo e positivo, é positivo. Então, a partícula para momentaneamente.
  • (b) Passa pela origem: Após parar, a aceleração positiva impulsiona a partícula para frente, fazendo-a passar pela origem. Há solução positiva, indicando que a partícula atravessa a origem.
  • © Não passa pela origem: Não ocorre, pois a partícula passa pela origem.

Passo 6

Situação (4): t = -v0a , 0 = -20 + v0 t + 12 a t^2
  • (a) Para momentaneamente: Com ambos e negativos, seria positivo. Portanto, a partícula para momentaneamente.
  • (b) Passa pela origem: Dependendo dos valores, pode ou não passar pela origem. No entanto, com ambos negativos, a partícula tende a se afastar ainda mais da origem.
  • © Não passa pela origem: Provavelmente, a partícula não passa pela origem.

Resposta

  • Situação (1): (a) Não para; (b) Passa pela origem; © Não ocorre.
  • Situação (2): (a) Pára momentaneamente; (b) Passa pela origem; © Não ocorre.
  • Situação (3): (a) Pára momentaneamente; (b) Passa pela origem; © Não ocorre.
  • Situação (4): (a) Pára momentaneamente; (b) Não passa pela origem; © Ocorre.

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