Para T=0,1 segundos, obtenha a transformada Z de: x(k)=(-1)^k cos (k pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada Z de para segundos. Estamos lidando com Transformada Z, que é uma ferramenta usada para analisar sinais discretos no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada Z passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão cos(k pi) = (-1)^k . Sabemos que x(k) = (-1)^k cdot (-1)^k = [(-1)^k]^2 = 1 alterna entre 1 e -1 dependendo do valor de :
Então, substituindo na expressão de :
Portanto, é igual a 1 para todo .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a definição da Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência X(z) = sumk=0^infty x(k) z^-k é dada por:
X(z) = sumk=0^infty 1 cdot z^-k = sumk=0^infty z^-k
Como para todo , a soma fica:

Passo 4

Reconhecemos essa soma como uma série geométrica. A soma de uma série geométrica infinita é:
sumk=0^infty ar^k = a1 - r, |r| < 1
No nosso caso, X(z) = 11 - z^-1, |z^-1| < 1 Rightarrow |z| > 1 e . Então:

Passo 5

Para deixar a expressão mais elegante, podemos multiplicar o numerador e o denominador por X(z) = zz - 1, |z| > 1 :
Essa é a forma final da Transformada Z para a sequência dada.

Resposta

A Transformada Z de X(z) = zz - 1, |z| > 1 é:

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