Para T=0,1 segundos, obtenha a transformada Z de: x(k)=u(k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada Z de com segundos. Aqui, estamos lidando com Transformada Z, que é uma ferramenta usada na análise de sinais no domínio discreto. Para resolver, vamos precisar entender o que é a transformada Z e como aplicá-la à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Z. Ela transforma um sinal discreto no domínio do tempo, X(z) = sumk=-infty^infty x(k) z^-k , para o domínio da frequência complexa, u(k) = 1, & para k >= 0 0, & caso contrário . A fórmula geral da transformada Z é:
No nosso caso, , que é a função degrau unitário. Essa função é definida como:
á

Passo 3

Como X(z) = sumk=0^infty u(k) z^-k = sumk=0^infty z^-k para todo , podemos simplificar a soma da transformada Z começando de :

Passo 4

A soma X(z) = sumk=0^infty z^-k = 11 - z^-1 é uma série geométrica. Sabemos que uma série geométrica infinita converge para quando . No nosso caso, e :

Passo 5

Para simplificar a expressão, podemos multiplicar o numerador e o denominador por X(z) = 1 cdot z(1 - z^-1) cdot z = zz - 1 :
Essa é a forma simplificada da transformada Z da função degrau unitário.

Resposta

A transformada Z de X(z) = zz - 1 é:

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