No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma de uma série infinita, que é . Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que nos ajuda a somar termos que seguem uma certa razão. Vamos precisar identificar se a série converge e, se sim, aplicar a fórmula da soma das séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. É uma sequência de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é , já que cada termo é metade do anterior.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, isso acontece se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . No nosso caso, , então a série converge e podemos calcular sua soma.

Passo 4

Com a confirmação de que a série converge, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Aqui, é o primeiro termo da série. No nosso caso, para :
Substituindo na fórmula:

Resposta

A soma da série é .

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As funções de Bessel aparecem com frequência na análise avançada da engenharia tal como no estudo de campos elétricos. Essas funções usualmente não podem ser calculadas de forma simples e, portanto, em geral são compiladas em tabelas matemáticas padrão. Por exemplo,
x 1,8 2 2,2 2,4 2,6
0,5815 0,5767 0,556 0,5202 0,4708
Estime , usando um polinômio interpolador do 1 grau e do 2 grau. Observe que o valor verdadeiro é 0,568292 .
Na tabela abaixo, d é a distância, em metros, que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão em t segundos. Encontrar a distância percorrida pela bala 5 segundos após ter sido disparada, usando todos os dados abaixo, pelo método de interpolação do 3 grau.
0 2 4 6 8
0,000 0,049 0,070 0,087 0,103
No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.