No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma de uma série infinita, que é . Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que nos ajuda a somar termos que seguem uma certa razão. Vamos precisar identificar se a série converge e, se sim, aplicar a fórmula da soma das séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. É uma sequência de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é , já que cada termo é metade do anterior.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, isso acontece se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . No nosso caso, , então a série converge e podemos calcular sua soma.
Passo 4
Com a confirmação de que a série converge, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Aqui, é o primeiro termo da série. No nosso caso, para :