Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com
b) Com varepsilon=0,3.
c) l8 x1-3 x2+2 x3=20 4 x1+11 x2-x3=33 6 x1+3 x2+12 x3=36 Com varepsilon=0,2
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiro, vamos entender o enunciado:
Temos o sistema:
4x1 + x2 = 11 x1 + 3x2 = 7
E precisamos resolver esse sistema usando o método de Gauss-Seidel com a precisão . Além disso, as aproximações iniciais para e são e .
Para aplicar o método de Gauss-Seidel, precisamos que o sistema seja convergente, ou seja, que as iterações se aproximem da solução. Isso geralmente acontece se a matriz do sistema for dominante diagonal. Vamos verificar isso nos próximos passos.
Passo 2
Verificando a Dominância Diagonal:
Um sistema é dominante diagonal se, para cada equação, o coeficiente da variável principal é maior ou igual à soma dos coeficientes das outras variáveis.
Para a primeira equação:
4x1 + x2 = 11 Rightarrow |4| >= |1|
4 >= 1 (Verdadeiro)
Para a segunda equação:
x1 + 3x2 = 7 Rightarrow |3| >= |1|
3 >= 1 (Verdadeiro)
Como ambas as equações satisfazem a condição de dominância diagonal, o método de Gauss-Seidel pode ser aplicado com segurança.
Passo 3
Rearranjando as Equações:
Para facilitar as iterações, vamos isolar cada variável em uma das equações.