Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com
b) Com .
c) Com
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiro, vamos entender o enunciado:
Temos o sistema:
E precisamos resolver esse sistema usando o método de Gauss-Seidel com a precisão . Além disso, as aproximações iniciais para e são e .
Para aplicar o método de Gauss-Seidel, precisamos que o sistema seja convergente, ou seja, que as iterações se aproximem da solução. Isso geralmente acontece se a matriz do sistema for dominante diagonal. Vamos verificar isso nos próximos passos.
Passo 2
Verificando a Dominância Diagonal:
Um sistema é dominante diagonal se, para cada equação, o coeficiente da variável principal é maior ou igual à soma dos coeficientes das outras variáveis.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Como ambas as equações satisfazem a condição de dominância diagonal, o método de Gauss-Seidel pode ser aplicado com segurança.
Passo 3
Rearranjando as Equações:
Para facilitar as iterações, vamos isolar cada variável em uma das equações.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos:
Onde representa a iteração atual.
Passo 4
Primeira Iteração ():
Iniciamos com:
Calculamos :
Agora, calculamos :
Passo 5
Segunda Iteração ():
Usamos os valores da iteração anterior:
Calculamos :
Agora, calculamos :
Passo 6
Verificando a Convergência:
Vamos calcular a diferença entre as novas e antigas aproximações para e :
Para :
Para :
Como ambas as diferenças são menores que , podemos parar as iterações aqui.
Resposta
A solução aproximada do sistema utilizando o método de Gauss-Seidel é: