Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com
b) Com .
c) Com

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiro, vamos entender o enunciado:
Temos o sistema:
E precisamos resolver esse sistema usando o método de Gauss-Seidel com a precisão . Além disso, as aproximações iniciais para e são e .
Para aplicar o método de Gauss-Seidel, precisamos que o sistema seja convergente, ou seja, que as iterações se aproximem da solução. Isso geralmente acontece se a matriz do sistema for dominante diagonal. Vamos verificar isso nos próximos passos.

Passo 2

Verificando a Dominância Diagonal:
Um sistema é dominante diagonal se, para cada equação, o coeficiente da variável principal é maior ou igual à soma dos coeficientes das outras variáveis.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Como ambas as equações satisfazem a condição de dominância diagonal, o método de Gauss-Seidel pode ser aplicado com segurança.

Passo 3

Rearranjando as Equações:
Para facilitar as iterações, vamos isolar cada variável em uma das equações.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos:
Onde representa a iteração atual.

Passo 4

Primeira Iteração ( ):
Iniciamos com:
Calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 5

Segunda Iteração ( ):
Usamos os valores da iteração anterior:
Calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 6

Verificando a Convergência:
Vamos calcular a diferença entre as novas e antigas aproximações para e :
Para :
Para :
Como ambas as diferenças são menores que , podemos parar as iterações aqui.

Resposta

A solução aproximada do sistema utilizando o método de Gauss-Seidel é:

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Dada a matriz calcular
a)
b)
Dado o vetor , calcular
a)
b)
c)
Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações, com precisão
a)
b)
c)
d)
A tabela a seguir apresenta resultados empíricos que relacionam o tempo t e a intensidade de corrente elétrica ị.
t 0.1 0.2 0.4 0.8
i 2.48 2.66 2.58 2.00
Estime o valor de i para t utilizando o método de Newton para Interpolação com Diferenças Divididas.