Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com xi^0=0 forall i.
a) l4 x1+x2=11 x1+3 x2=7 Com varepsilon=0,4
b) l10 x1+x2+x3=12 2 x1+10 x2+x3=13 2 x1+2 x2+10 x3=14 8 x2- Com varepsilon=0,3.
c) l8 x1-3 x2+2 x3=20 4 x1+11 x2-x3=33 6 x1+3 x2+12 x3=36 Com varepsilon=0,2

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiro, vamos entender o enunciado:
Temos o sistema:
4x1 + x2 = 11 x1 + 3x2 = 7
E precisamos resolver esse sistema usando o método de Gauss-Seidel com a precisão . Além disso, as aproximações iniciais para e são e .
Para aplicar o método de Gauss-Seidel, precisamos que o sistema seja convergente, ou seja, que as iterações se aproximem da solução. Isso geralmente acontece se a matriz do sistema for dominante diagonal. Vamos verificar isso nos próximos passos.

Passo 2

Verificando a Dominância Diagonal:
Um sistema é dominante diagonal se, para cada equação, o coeficiente da variável principal é maior ou igual à soma dos coeficientes das outras variáveis.
Para a primeira equação:
4x1 + x2 = 11 Rightarrow |4| >= |1|
4 >= 1 (Verdadeiro)
Para a segunda equação:
x1 + 3x2 = 7 Rightarrow |3| >= |1|
3 >= 1 (Verdadeiro)
Como ambas as equações satisfazem a condição de dominância diagonal, o método de Gauss-Seidel pode ser aplicado com segurança.

Passo 3

Rearranjando as Equações:
Para facilitar as iterações, vamos isolar cada variável em uma das equações.
Da primeira equação:
4x1 + x2 = 11 Rightarrow x1 = 11 - x24
Da segunda equação:
x1 + 3x2 = 7 Rightarrow x2 = 7 - x13
Agora, temos:
x1^(k+1) = 11 - x2^(k)4 x2^(k+1) = 7 - x1^(k+1)3
Onde representa a iteração atual.

Passo 4

Primeira Iteração ( x1^(0) = 0 x2^(0) = 0 ):
Iniciamos com:
x1^(1) = 11 - x2^(0)4 = 11 - 04 = 114 = 2,75
Calculamos x2^(1) = 7 - x1^(1)3 = 7 - 2,753 = 4,253 approx 1,4167 :
Agora, calculamos :

Passo 5

Segunda Iteração ( x1^(1) = 2,75 x2^(1) approx 1,4167 ):
Usamos os valores da iteração anterior:
x1^(2) = 11 - x2^(1)4 = 11 - 1,41674 = 9,58334 approx 2,3958
Calculamos x2^(2) = 7 - x1^(2)3 = 7 - 2,39583 = 4,60423 approx 1,5347 :
Agora, calculamos :

Passo 6

Verificando a Convergência:
Vamos calcular a diferença entre as novas e antigas aproximações para |x1^(2) - x1^(1)| = |2,3958 - 2,75| = 0,3542 < varepsilon = 0,4 e |x2^(2) - x2^(1)| = |1,5347 - 1,4167| = 0,1180 < varepsilon = 0,4 :
Para :
Para :
Como ambas as diferenças são menores que , podemos parar as iterações aqui.

Resposta

A solução aproximada do sistema utilizando o método de Gauss-Seidel é:
x1 approx 2,396 x2 approx 1,535

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