Uma taça em repouso na origem de um sistema de coordenadas x y explode em três pedaços. Logo depois da explosão, um dos pedaços, de massa m, está se movendo com velocidade ( 30 m / s ) e um segundo pedaço, também de massa m, está se movendo com velocidade (-30 m / s). O terceiro pedaço tem massa 3 m . Determine (a) o módulo e (b) a orientação da velocidade do terceiro pedaço logo após a explosão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma taça que está parada na origem de um sistema de coordenadas e explode em três pedaços. Sabemos as massas e as velocidades de dois desses pedaços, e queremos encontrar a velocidade (tanto o módulo quanto a direção) do terceiro pedaço que pesa . Para resolver isso, vamos usar a Lei da Conservação da Quantidade de Movimento. Isso nos ajuda a entender como as velocidades dos pedaços estão relacionadas após a explosão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a quantidade de movimento. A quantidade de movimento p = m cdot v de um objeto é dada por:
onde é a massa e é a velocidade do objeto.
Como a taça estava em repouso antes da explosão, a quantidade de movimento total antes da explosão era zero. Após a explosão, a soma das quantidades de movimento de todos os pedaços também deve ser igual a zero, já que não há forças externas agindo no sistema.

Passo 3

Vamos chamar de a velocidade do terceiro pedaço de massa . Temos:
  • Primeiro pedaço: massa , velocidade na direção positiva do eixo .
  • Segundo pedaço: massa , velocidade na direção negativa do eixo .
  • Terceiro pedaço: massa , velocidade que queremos encontrar.

Passo 4

Aplicando a conservação da quantidade de movimento:
ptotal inicial = ptotal final
Como a taça estava em repouso inicialmente:
0 = p1 + p2 + p3
Substituindo as quantidades de movimento:
0 = m cdot v1 + m cdot v2 + 3m cdot v3

Passo 5

Vamos isolar 3m cdot v3 = - (m cdot v1 + m cdot v2) :
v3 = - m (v1 + v2)3m = - v1 + v23
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, substituímos os valores das velocidades:
v1 = 30 , m/s e v2 = -30 , m/s
v3 = - 30 + (-30)3 = - 03 = 0 , m/s

Passo 7

O resultado indica que o terceiro pedaço, de massa , não está se movendo logo após a explosão. Isso faz sentido, pois as duas massas menores estão se movendo em direções opostas com a mesma velocidade, cancelando suas quantidades de movimento, então o pedaço maior não precisa se mover para manter a quantidade de movimento total igual a zero.

Resposta

(a) O módulo da velocidade do terceiro pedaço é .
(b) Como a velocidade é zero, não há orientação definida para a direção da velocidade do terceiro pedaço.

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