Um tanque de água possui a forma de um cone invertido (isto é, com eixo vertical e base voltada para cima), cujo raio da base é igual à altura. Sabe-se que a água escorre, por um ralo localizado no vértice do cone, a uma taxa constante de
. Determine a taxa de variação do nível da água no momento em que o mesmo é de 20dm.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque em forma de cone invertido, onde o raio da base é igual à altura. A água está saindo do tanque a uma taxa constante de
. Precisamos descobrir quão rápido o nível da água está diminuindo quando a altura da água é de 20 dm.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve o conceito de taxas relacionadas em cálculo diferencial, onde relacionamos a taxa de variação de um volume com a taxa de variação de uma altura.
O que precisamos: Entender a fórmula do volume de um cone e como relacionar as taxas de variação usando derivadas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a fórmula do volume de um cone. A fórmula é:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura.
Passo 3
Segundo o enunciado, o raio da base do cone é igual à altura (
). Podemos substituir
por
na fórmula do volume:
Agora, a fórmula do volume em termos apenas da altura é:
Passo 4
Queremos relacionar a taxa de variação do volume (
) com a taxa de variação da altura (
). Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
:
Passo 5
A questão nos informa que a água está saindo do tanque a uma taxa constante de
. Como a água está saindo, a taxa de variação do volume é negativa:
Substituindo na equação que obtivemos:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
na equação:
Resposta
A taxa de variação do nível da água quando a altura é de 20 dm é de
.
Exercícios relacionados
Determine, em função de
, o ponto em que a reta
, tangente ao gráfico de
no ponto
, corta o eixo
.
Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar ou nenhuma das opções.
(e)
(e)
Um tanque de água possui a forma de um cone invertido (isto é, com eixo vertical e base voltada para cima), cujo raio da base é igual à altura. Sabe-se que a água escorre, por um ralo localizado no vértice do cone, a uma taxa constante de
. O nível da água varia mais rápido ou mais devagar, conforme a quantidade de água no tanque diminui?
Defina
e determine os números nos quais
é contínua.