Um tanque de água possui a forma de um cone invertido (isto é, com eixo vertical e base voltada para cima), cujo raio da base é igual à altura. Sabe-se que a água escorre, por um ralo localizado no vértice do cone, a uma taxa constante de pi dm^3 / s. Determine a taxa de variação do nível da água no momento em que o mesmo é de 20dm.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque em forma de cone invertido, onde o raio da base é igual à altura. A água está saindo do tanque a uma taxa constante de . Precisamos descobrir quão rápido o nível da água está diminuindo quando a altura da água é de 20 dm.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve o conceito de taxas relacionadas em cálculo diferencial, onde relacionamos a taxa de variação de um volume com a taxa de variação de uma altura.
O que precisamos: Entender a fórmula do volume de um cone e como relacionar as taxas de variação usando derivadas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a fórmula do volume de um cone. A fórmula é:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura.

Passo 3

Segundo o enunciado, o raio da base do cone é igual à altura ( ). Podemos substituir por na fórmula do volume:
Agora, a fórmula do volume em termos apenas da altura é:

Passo 4

Queremos relacionar a taxa de variação do volume ( ) com a taxa de variação da altura ( ). Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo :

Passo 5

A questão nos informa que a água está saindo do tanque a uma taxa constante de . Como a água está saindo, a taxa de variação do volume é negativa:
Substituindo na equação que obtivemos:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Finalmente, substituímos na equação:

Resposta

A taxa de variação do nível da água quando a altura é de 20 dm é de .

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