Um tanque de água possui a forma de um cone invertido (isto é, com eixo vertical e base voltada para cima), cujo raio da base é igual à altura. Sabe-se que a água escorre, por um ralo localizado no vértice do cone, a uma taxa constante de
. O nível da água varia mais rápido ou mais devagar, conforme a quantidade de água no tanque diminui?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tanque de água com a forma de um cone invertido, onde o raio da base é igual à altura. A água está saindo por um ralo na parte de baixo a uma taxa constante de
. A pergunta é: conforme a quantidade de água no tanque diminui, o nível da água desce mais rápido ou mais devagar?
Vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo, especialmente derivadas relacionadas à taxa de variação do volume em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o volume de água no tanque em função da altura da água. Como o tanque é um cone invertido com raio
igual à altura
, temos:
Mas como
, substituímos:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a taxa de variação do volume em relação ao tempo (
) com a taxa de variação da altura (
). Diferenciando ambos os lados da equação do volume em relação ao tempo:
Passo 4
Sabemos que a água está saindo a uma taxa constante de
, ou seja,
(o sinal negativo indica que o volume está diminuindo).
Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Passo 6
A derivada
mostra como a altura da água está mudando com o tempo. O valor absoluto de
é
, que é inversamente proporcional ao quadrado da altura.
Passo 7
Isso significa que conforme
diminui,
aumenta. Portanto, a taxa de variação da altura
torna-se mais negativa, ou seja, a altura da água desce mais rapidamente.
Resposta
Conforme a quantidade de água no tanque diminui, o nível da água desce mais rapidamente.
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Um tanque de água possui a forma de um cone invertido (isto é, com eixo vertical e base voltada para cima), cujo raio da base é igual à altura. Sabe-se que a água escorre, por um ralo localizado no vértice do cone, a uma taxa constante de
. Determine a taxa de variação do nível da água no momento em que o mesmo é de 20dm.
Determine, em função de
, o ponto em que a reta
, tangente ao gráfico de
no ponto
, corta o eixo
.
Defina
e determine os números nos quais
é contínua.
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aplicando a definição.
(a)
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