Um tanque de água possui a forma de um cone invertido (isto é, com eixo vertical e base voltada para cima), cujo raio da base é igual à altura. Sabe-se que a água escorre, por um ralo localizado no vértice do cone, a uma taxa constante de pi dm^3 / s. O nível da água varia mais rápido ou mais devagar, conforme a quantidade de água no tanque diminui?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tanque de água com a forma de um cone invertido, onde o raio da base é igual à altura. A água está saindo por um ralo na parte de baixo a uma taxa constante de . A pergunta é: conforme a quantidade de água no tanque diminui, o nível da água desce mais rápido ou mais devagar?
Vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo, especialmente derivadas relacionadas à taxa de variação do volume em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o volume de água no tanque em função da altura da água. Como o tanque é um cone invertido com raio igual à altura , temos:
Mas como , substituímos:

Passo 3

Agora, vamos relacionar a taxa de variação do volume em relação ao tempo ( ) com a taxa de variação da altura ( ). Diferenciando ambos os lados da equação do volume em relação ao tempo:

Passo 4

Sabemos que a água está saindo a uma taxa constante de , ou seja, (o sinal negativo indica que o volume está diminuindo).
Substituindo na equação:

Passo 5

Vamos resolver para :

Passo 6

A derivada mostra como a altura da água está mudando com o tempo. O valor absoluto de é , que é inversamente proporcional ao quadrado da altura.

Passo 7

Isso significa que conforme diminui, aumenta. Portanto, a taxa de variação da altura torna-se mais negativa, ou seja, a altura da água desce mais rapidamente.

Resposta

Conforme a quantidade de água no tanque diminui, o nível da água desce mais rapidamente.

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Um tanque de água possui a forma de um cone invertido (isto é, com eixo vertical e base voltada para cima), cujo raio da base é igual à altura. Sabe-se que a água escorre, por um ralo localizado no vértice do cone, a uma taxa constante de pi dm^3 / s. Determine a taxa de variação do nível da água no momento em que o mesmo é de 20dm.
Determine, em função de x_0, o ponto em que a reta r_x0, tangente ao gráfico de f(x) = x^2 no ponto x = x0, corta o eixo x.
Defina f(g) e determine os números nos quais f(g) é contínua.
f(x) = raiz3(x) ; g(x) = raiz(x + 1)
Encontre f'(x) aplicando a definição.
(a) f(x) = 7x - 3