Um tanque de água pressurizado possui um orifício de 8 cm de diâmetro na parte inferior, por onde a água é descarregada para a atmosfera. O nível da água está
acima da saída. A pressão do ar do tanque acima do nível da água é 300 kPa (absoluta), enquanto a pressão atmosférica é 100 kPa . Os efeitos do atrito são irrisórios.
a) Determine a taxa de descarga inicial de água do tanque.
a) Determine a taxa de descarga inicial de água do tanque.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos dá e o que precisamos encontrar. Temos um tanque de água pressurizado com um orifício de 8 cm de diâmetro na parte de baixo por onde a água sai para a atmosfera. A coluna de água tem 2,0 metros acima desse orifício. A pressão do ar no tanque é de 300 kPa (pressão absoluta) e a pressão atmosférica é de 100 kPa. Além disso, ignoramos os efeitos do atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a taxa inicial de descarga de água, ou seja, quanto de água sai do tanque por unidade de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a taxa de descarga depende da velocidade com que a água sai pelo orifício e da área desse orifício. A equação básica para a taxa de descarga volumétrica $ Q $ é:
Onde:
- $ A $ é a área do orifício.
- $ v $ é a velocidade da água saindo.
Então, precisamos encontrar a velocidade $ v $.
Passo 3
Para encontrar a velocidade $ v $, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona pressões e velocidades em dois pontos de um fluido. Considerando o ponto no topo do nível da água no tanque e o ponto de saída, a equação fica:
Onde:
- $ P_{tanque} $ é a pressão do ar no tanque (300 kPa).
- $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $).
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $).
- $ h $ é a altura da coluna de água (2,0 m).
- $ P_{atmos} $ é a pressão atmosférica (100 kPa).
- $ v $ é a velocidade da água que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para resolver $ v $:
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por $ \rho $:
Passo 5
Substituindo os valores numéricos:
Então,
Passo 6
Agora que temos a velocidade, vamos calcular a área do orifício. O diâmetro é de 8 cm, então o raio $ r $ é de 4 cm ou 0,04 m. A área $ A $ é:
Passo 7
Finalmente, a taxa de descarga $ Q $ é:
Resposta
A taxa de descarga inicial de água do tanque é aproximadamente $ 0,105 , m^3/s $.