Um tanque de água pressurizado possui um orifício de 8 cm de diâmetro na parte inferior, por onde a água é descarregada para a atmosfera. O nível da água está 2,0 m acima da saída. A pressão do ar do tanque acima do nível da água é 300 kPa (absoluta), enquanto a pressão atmosférica é 100 kPa . Os efeitos do atrito são irrisórios.
a) Determine a taxa de descarga inicial de água do tanque.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos dá e o que precisamos encontrar. Temos um tanque de água pressurizado com um orifício de 8 cm de diâmetro na parte de baixo por onde a água sai para a atmosfera. A coluna de água tem 2,0 metros acima desse orifício. A pressão do ar no tanque é de 300 kPa (pressão absoluta) e a pressão atmosférica é de 100 kPa. Além disso, ignoramos os efeitos do atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a taxa inicial de descarga de água, ou seja, quanto de água sai do tanque por unidade de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a taxa de descarga depende da velocidade com que a água sai pelo orifício e da área desse orifício. A equação básica para a taxa de descarga volumétrica $ Q $ é:
Q
Onde:
  • $ A $ é a área do orifício.
  • $ v $ é a velocidade da água saindo.
Então, precisamos encontrar a velocidade $ v $.

Passo 3

Para encontrar a velocidade $ v $, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona pressões e velocidades em dois pontos de um fluido. Considerando o ponto no topo do nível da água no tanque e o ponto de saída, a equação fica:
v
Onde:
  • $ P_{tanque} $ é a pressão do ar no tanque (300 kPa).
  • $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $).
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $).
  • $ h $ é a altura da coluna de água (2,0 m).
  • $ P_{atmos} $ é a pressão atmosférica (100 kPa).
  • $ v $ é a velocidade da água que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver $ v $:
v
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por $ \rho $:
Ptanque - Patmos + rho g h = 12 rho v^2

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
Ptanque - Patmos = 300 , kPa - 100 , kPa = 200 , kPa = 200,000 , Pa
rho = 1000 , kg/m^3
g = 9,81 , m/s^2
h = 2,0 , m
Então,
v = raiz 2 times 200,0001000 + 2 times 9,81 times 2,0
v = raiz400 + 39,24 = raiz439,24 approx 20,96 , m/s

Passo 6

Agora que temos a velocidade, vamos calcular a área do orifício. O diâmetro é de 8 cm, então o raio $ r $ é de 4 cm ou 0,04 m. A área $ A $ é:
r

Passo 7

Finalmente, a taxa de descarga $ Q $ é:
Q

Resposta

A taxa de descarga inicial de água do tanque é aproximadamente $ 0,105 , m^3/s $.

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