Um tanque de água pressurizado possui um orifício de 8 cm de diâmetro na parte inferior, por onde a água é descarregada para a atmosfera. O nível da água está
acima da saída. A pressão do ar do tanque acima do nível da água é 300 kPa (absoluta), enquanto a pressão atmosférica é 100 kPa . Os efeitos do atrito são irrisórios.
b) Quando o nível da água for de 50 centímetros acima da base, a taxa de descarga será maior ou menor? Por quê?
b) Quando o nível da água for de 50 centímetros acima da base, a taxa de descarga será maior ou menor? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque de água pressurizado com um buraco de 8 cm de diâmetro na parte de baixo, de onde a água sai para o ar. Inicialmente, a água está 2 metros acima do orifício, e a pressão do ar no tanque é de 300 kPa, enquanto a pressão atmosférica é de 100 kPa. A pergunta é: se o nível da água cair para 50 centímetros, a taxa de descarga vai ser maior ou menor? E por quê? Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente a equação de Bernoulli ou a fórmula de Torricelli para entender como a velocidade e a taxa de descarga mudam com a altura da água.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a taxa de descarga (ou velocidade de saída) da água pelo orifício depende da altura da coluna de água acima dele. Quanto maior essa altura, maior a pressão exercida pela água no orifício, o que aumenta a velocidade de saída.
A fórmula que relaciona a velocidade $ v $ de descarga com a altura $ h $ da água é dada por:
onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade (~9,81 m/s²),
- $ h $ é a altura da coluna de água,
- $ P_{atm} $ é a pressão atmosférica,
- $ P_{tanque} $ é a pressão do ar no tanque.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade de descarga para as duas alturas: 2,0 m e 0,5 m.
Primeiro, para $ h = 2,0 $ m:
Agora, para $ h = 0,5 $ m:
Passo 4
Observamos que, quando a altura da água $ h $ diminui de 2,0 m para 0,5 m, a velocidade de saída $ v $ também diminui de aproximadamente 5,42 m/s para 2,71 m/s. Isso acontece porque a pressão exercida pela coluna de água é menor quando a altura diminui, resultando em uma menor pressão que impulsiona a água para fora do orifício.
Passo 5
A taxa de descarga $ Q $ é dada por:
onde $ A $ é a área do orifício. Como a área $ A $ permanece a mesma e a velocidade $ v $ diminui quando a altura $ h $ diminui, a taxa de descarga também diminui.
Resposta
Quando o nível da água cai para 50 centímetros acima da base, a taxa de descarga será menor porque a altura reduzida da coluna de água diminui a pressão que impulsiona a saída da água pelo orifício.