Um tanque é alimentado com água (p=0,588 g^prime cm^3, mu=2,0810^-1 g / cm s) por uma tubulaçāo de entrada que tem diâmetro de 2 cm e esvaziado por uma tubulaçăo de saida com diámetro de 3 cm , Sabe-se ainda que a velocidade média na entrada è u1=1.5 m / s, que o tanque acumula 50 kg a cada 30 min e que a velocidade na saida da tubulaçāo, U2 é dada pela equação:
u2=umix[1-(rR)^2]
(d) Calcule a velocidade média na saida da tubulaçāo

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão nos pede. Temos um tanque que está sendo alimentado e esvaziado por tubulações com diâmetros diferentes. A água entra com uma velocidade média de e sai por uma tubulação com diâmetro maior. Sabemos que a cada 30 minutos o tanque acumula 50 kg de água. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade média na saída da tubulação, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar o Princípio da Continuidade (conservação da massa) e entender um pouco sobre equações de velocidade em fluxo de fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a taxa de fluxo de massa que está entrando no tanque. A taxa de fluxo de massa ( dotmin = rho times A1 times u1 ) é dada por:
A1 = pi ( d12 )^2 = pi ( 22 )^2 = pi times 1^2 = pi , cm^2 = 0,000314 , m^2
onde:
  • (converti para kg/m³),
  • é a área da tubulação de entrada,
  • .
Vamos calcular a área da entrada ( ) usando o diâmetro:

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de fluxo de massa que está saindo ( dotmacc = 50 , kg30 times 60 , s approx 0,0278 , kg/s ). Sabemos que o tanque acumula 50 kg a cada 30 minutos, o que nos dá a taxa de acumulação ( dotmin = dotmout + dotmacc ):
dotmout = dotmin - dotmacc
Pela conservação da massa:
dotmin = 588 times 0,000314 times 1,5 approx 0,277 , kg/s
Portanto:
dotmout = 0,277 - 0,0278 approx 0,249 , kg/s
Vamos calcular :
Então:

Passo 4

Agora, vamos relacionar a taxa de fluxo de massa que sai com a velocidade na saída da tubulação ( A2 = pi ( d22 )^2 = pi ( 32 )^2 = pi times 2,25 approx 0,0159 , m^2 ). A área da tubulação de saída ( dotmout = rho times A2 times u2 ) é:
u2 = dotmoutrho times A2 = 0,249588 times 0,0159 approx 0,0265 , m/s
A taxa de fluxo de massa de saída é:
Então podemos resolver para :

Passo 5

No entanto, a questão nos fornece uma equação para u2 = umix [1 - ( rR )^2 ] :
Aqui, parece que precisamos considerar fatores geométricos ou de mistura no fluxo. Mas, como já calculamos diretamente, podemos concluir que a velocidade média na saída da tubulação é aproximadamente .

Resposta

A velocidade média na saída da tubulação é aproximadamente .

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