onde é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a e . Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de fluxo de água entre duas placas paralelas. O enunciado nos dá a velocidade máxima da água, a distância entre as placas e a equação que relaciona a velocidade em qualquer ponto entre as placas. Nosso objetivo é calcular a tensão de cisalhamento na placa superior e entender para onde ela está agindo. Também vamos esboçar como essa tensão varia na seção transversal do canal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação fornecida:
Aqui, é a velocidade em uma posição entre as placas, é a velocidade máxima, e é a distância entre as placas. Essa equação descreve o perfil de velocidade parabolico típico de um fluxo laminado entre duas placas.
Passo 3
Para encontrar a tensão de cisalhamento () na placa superior, precisamos usar a fórmula da tensão de cisalhamento em fluxo laminar:
Onde é a viscosidade dinâmica da água e é o gradiente de velocidade na direção perpendicular às placas.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente de velocidade . A derivada da função de velocidade em relação a é:
Derivando em relação a :
Passo 5
Na placa superior, (já que a origem está na linha mediana entre as placas). Substituindo:
Passo 6
Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a . Sabemos que a viscosidade da água a é aproximadamente .
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula da tensão de cisalhamento:
Note que .
Passo 8
Calculando:
O valor negativo indica que a direção da tensão de cisalhamento está na direção oposta ao aumento de , ou seja, na direção para baixo na placa superior.
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é direcionada para baixo. O esboço da variação da tensão de cisalhamento na seção transversal do canal seria uma parábola invertida, com o valor máximo de na placa superior e diminuindo até zero na linha mediana.