uumáx=1-(2 yh)^2
onde h é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15^circ C, com umáx=0,10 m / s e h=0,25 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de fluxo de água entre duas placas paralelas. O enunciado nos dá a velocidade máxima da água, a distância entre as placas e a equação que relaciona a velocidade em qualquer ponto entre as placas. Nosso objetivo é calcular a tensão de cisalhamento na placa superior e entender para onde ela está agindo. Também vamos esboçar como essa tensão varia na seção transversal do canal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação fornecida:
uumáx = 1 - ( 2 yh )^2 á
Aqui, é a velocidade em uma posição entre as placas, á é a velocidade máxima, e é a distância entre as placas. Essa equação descreve o perfil de velocidade parabolico típico de um fluxo laminado entre duas placas.

Passo 3

Para encontrar a tensão de cisalhamento ( tau = mu ( dudy ) ) na placa superior, precisamos usar a fórmula da tensão de cisalhamento em fluxo laminar:
Onde é a viscosidade dinâmica da água e é o gradiente de velocidade na direção perpendicular às placas.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de velocidade u(y) = umáx ( 1 - ( 2 yh )^2 ) . A derivada da função de velocidade dudy = umáx ( -2 cdot 2 yh^2 ) = -4 umáx yh^2 em relação a é:
á
Derivando em relação a :
áá

Passo 5

Na placa superior, dudyg|y = h2 = -4 umáx cdot h2h^2 = -2 umáxh (já que a origem está na linha mediana entre as placas). Substituindo:
áá

Passo 6

Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a . Sabemos que a viscosidade da água a é aproximadamente .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu ( dudy ) = 1,14 times 10^-3 times ( -2 times 0,100,00025 )
Note que .

Passo 8

Calculando:
tau = 1,14 times 10^-3 times ( -0,200,00025 ) = 1,14 times 10^-3 times (-800) = -0,912 , Pa
O valor negativo indica que a direção da tensão de cisalhamento está na direção oposta ao aumento de , ou seja, na direção para baixo na placa superior.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é direcionada para baixo. O esboço da variação da tensão de cisalhamento na seção transversal do canal seria uma parábola invertida, com o valor máximo de na placa superior e diminuindo até zero na linha mediana.

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