Um tanque é alimentado com água (p=0,588 g^prime cm^3, mu=2,0810^-1 g / cm s) por uma tubulaçāo de entrada que tem diâmetro de 2 cm e esvaziado por uma tubulaçăo de saida com diámetro de 3 cm , Sabe-se ainda que a velocidade média na entrada è u1=1.5 m / s, que o tanque acumula 50 kg a cada 30 min e que a velocidade na saida da tubulaçāo, U2 é dada pela equação:
u2=umix[1-(rR)^2]
(e) Calcule a velocidade máxima na saida da đubulaçăo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque que está recebendo água por uma tubulação de entrada e liberando água por uma tubulação de saída. A água entra com densidade u2 = umix [1 - (rR)^2] e viscosidade . O diâmetro da entrada é de 2 cm, da saída é de 3 cm, e a velocidade média de entrada é . O tanque está acumulando 50 kg a cada 30 minutos. Precisamos calcular a velocidade máxima na saída da tubulação usando a equação fornecida:
Vamos precisar usar conceitos de conservação de massa e a equação de Bernoulli para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o mesmo sistema. Vamos trabalhar com unidades do SI (kg, m, s).
  • Densidade: (já que ).
  • Viscosidade: (pois ).

Passo 3

Agora, vamos calcular a área das tubulações de entrada e saída usando a fórmula da área do círculo:
A = pi d^24
Para a entrada:
d1 = 2 , cm = 0,02 , m A1 = pi (0,02)^24 = pi times 10^-4 , m^2 approx 3,14 times 10^-4 , m^2
Para a saída:
d2 = 3 , cm = 0,03 , m A2 = pi (0,03)^24 = pi times 2,25 times 10^-4 , m^2 approx 7,07 times 10^-4 , m^2

Passo 4

Vamos utilizar a conservação de massa. A massa que entra menos a massa que sai é igual à massa que acumula no tanque. A fórmula é:
dotmentrada - dotmsaída = Deí
Onde:
dotm = p times A times u
E a cada .

Passo 5

Substituindo na equação de conservação de massa:
p times A1 times u1 - p times A2 times u2 = 501800
Simplificando:
588 times 3,14 times 10^-4 times 1,5 - 588 times 7,07 times 10^-4 times u2 = 501800

Passo 6

Calculando cada termo:
Entrada: 588 times 3,14 times 10^-4 times 1,5 approx 0,276 , kg/s 501800 approx 0,0278 , kg/s
Então:
0,276 - 588 times 7,07 times 10^-4 times u2 = 0,0278

Passo 7

Isolando 0,276 - 0,0278 = 588 times 7,07 times 10^-4 times u2 0,2482 = 0,415 times u2 u2 = 0,24820,415 approx 0,598 , m/s :

Passo 8

Agora, vamos utilizar a equação fornecida para u2 = umix [1 - (rR)^2] :
Precisamos determinar e a relação entre e . Supondo que seja o raio da tubulação de saída e o raio total do fluxo, podemos simplificar para encontrar .

Passo 9

Considerando que a velocidade máxima ocorre quando u2,max = umix [1 - 0] = umix :
Então, é simplesmente , que já calculamos como aproximadamente .

Resposta

A velocidade máxima na saída da tubulação é aproximadamente .

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