Um tanque de 8 m^3 de capacidade, contendo um líquido, é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início ( t=0 ), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é 750 kg / h. Passadas 5 horas, a taxa de retirada foi determinada como sendo 1000 kg / h. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de 1500 kg / h. Dado: = 1080 liq rho kg / m^3.
a) Escreva uma expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque, ms(t)[kg / h]. (0,5 ponto)
b) Escreva e resolva o balanço de massa diferencial para o líquido. (0,5 ponto)
c) Após 5 horas, quanto de líquido resta no tanque? (0,34 ponto)
d) Quanto tempo leva para que o nível do tanque alcance seu valor máximo? ( 0,33 ponto)
e) Qual o tempo necessário para esvaziar o tanque? (0,33 ponto)
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata de um tanque que está sendo esvaziado e alimentado com líquidos. A matéria envolvida aqui é o balanço de massa, que ajuda a entender como a quantidade de líquido no tanque muda ao longo do tempo. Para resolver, vamos precisar usar equações de taxa de variação e entender como as entradas e saídas de líquido se comportam.

Passo 2

a) Expressão para a taxa de retirada de líquido, $ ms(t) $ [kg/h]
Primeiro, vamos descobrir como a taxa de retirada está mudando com o tempo. Sabemos que no tempo $ t = 0 $, a taxa de retirada é de 750 kg/h, e após 5 horas, essa taxa aumenta para 1000 kg/h. Isso indica que a taxa de retirada aumenta linearmente com o tempo.
Para achar a expressão linear, usamos a forma geral da equação de uma reta:
ms(t)
Onde:
  • $ m $ é a inclinação (a taxa de variação da retirada)
  • $ b $ é o valor inicial da retirada
Sabemos que:
  • Em $ t = 0 $, $ ms(0) = 750 $ kg/h → $ b = 750 $
  • Em $ t = 5 $, $ ms(5) = 1000 $ kg/h
Vamos calcular $ m $:
t = 0
Então, a expressão para a taxa de retirada é:
ms(t) = mt + b

Passo 3

b) Balanço de massa diferencial para o líquido
O balanço de massa nos ajuda a entender como a quantidade de líquido no tanque muda ao longo do tempo. A equação geral do balanço de massa é:
dMdt = Entrada - Saída í
Onde:
  • $ \frac{dM}{dt} $ é a taxa de variação da massa no tanque
  • $ Entrada $ é a taxa de reposição (1500 kg/h)
  • $ Saída $ é a taxa de retirada $ ms(t) $
Substituindo na equação:
dMdt

Passo 4

c) Quantidade de líquido no tanque após 5 horas
Vamos integrar a equação diferencial para encontrar $ M(t) $, que é a quantidade de líquido no tanque em função do tempo.
A equação é:
M(t)
Integrando ambos os lados:
dMdt = 750 - 50t
Onde $ C $ é a constante de integração.
Sabemos que em $ t = 0 $, $ M(0) = 750 $ kg. Então:
M(t) = integral (750 - 50t) dt M(t) = 750t - 25t^2 + C
Portanto:
C
Agora, vamos calcular $ M(5) $:
t = 0

Passo 5

d) Tempo para o nível do tanque atingir o valor máximo
Para encontrar o tempo em que o nível do tanque atinge o máximo, precisamos encontrar o ponto onde a taxa de variação da massa $ \frac{dM}{dt} $ é zero.
Da equação do balanço de massa:
dMdt
Igualando a zero:
dMdt = 750 - 50t
Então, após 15 horas, o nível do tanque atinge o valor máximo.

Passo 6

e) Tempo necessário para esvaziar o tanque
Para esvaziar o tanque, queremos que $ M(t) = 0 $. Usaremos a equação de $ M(t) $ que encontramos:
M(t) = 0
Resolvendo a equação quadrática:
M(t)
Usando a fórmula de Bhaskara:
M(t) = 750t - 25t^2 + 750 = 0
Descartando a solução negativa:
-25t^2 + 750t + 750 = 0 25t^2 - 750t - 750 = 0 (mu
Portanto, leva aproximadamente 31 horas para esvaziar o tanque.

Resposta

a) $ ms(t) = 50t + 750 $ kg/h
b) $ \frac{dM}{dt} = 750 - 50t $
c) Após 5 horas, restam 3875 kg de líquido no tanque
d) O nível do tanque atinge o valor máximo após 15 horas
e) São necessárias aproximadamente 31 horas para esvaziar o tanque

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