Um tanque de
de capacidade, contendo um líquido, é esvaziado à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início (
), o tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é
. Passadas 5 horas, a taxa de retirada foi determinada como sendo
. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa de
. Dado:
.
b) Escreva e resolva o balanço de massa diferencial para o líquido. ( 0,5 ponto)
b) Escreva e resolva o balanço de massa diferencial para o líquido. ( 0,5 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um tanque com capacidade de 8 m³ que está sendo esvaziado a uma taxa que aumenta de forma linear com o tempo. Inicialmente, o tanque tem 750 kg de líquido e a taxa de retirada é de 750 kg/h. Depois de 5 horas, essa taxa sobe para 1000 kg/h. Além disso, o tanque está sendo constantemente preenchido com reposição a uma taxa de 1500 kg/h. O conteúdo que vamos usar aqui é o balanço de massa, que essencialmente verifica como a quantidade de massa no sistema (no caso, o tanque) muda ao longo do tempo devido às entradas e saídas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a taxa de retirada está mudando com o tempo. A questão diz que essa taxa aumenta linearmente. Isso significa que a taxa de retirada $ R(t) $ pode ser expressa como uma função do tempo $ t $:
onde $ R_0 $ é a taxa inicial e $ k $ é a constante de variação.
Passo 3
Sabemos que no tempo $ t = 0 $, a taxa de retirada $ R(0) = 750 , kg/h $, e no tempo $ t = 5 $ horas, $ R(5) = 1000 , kg/h $. Vamos usar essas informações para encontrar $ k $:
Então, a taxa de retirada fica:
Passo 4
Agora, vamos montar o balanço de massa. A fórmula básica do balanço de massa é:
Onde $ M $ é a massa de líquido no tanque.
Passo 5
Vamos identificar as entradas e saídas:
- Entrada: Reposição a uma taxa constante de $ 1500 , kg/h $
- Saída: Retirada a uma taxa $ R(t) = 750 + 50t $
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é do tipo:
Para resolver, integramos ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial que nos diz que no tempo $ t = 0 $, a massa $ M(0) = 750 , kg $:
Resposta
A solução do balanço de massa é: