Um tanque cilíndrico apresenta diâmetro e comprimento respectivamente iguais a 2,0 e . O eixo do tanque está na horizontal e as paredes laterais do tanque são planas e verticais. Um tubo vertical, com diâmetro de , está conectado no topo do tanque. O tanque e o tubo estão preenchidos com álcool etílico e a superfície livre do fluido está a acima do topo do tanque. Determine a força resultante com que o fluido atua sobre uma das tampas laterais do tanque e determine o ponto de aplicação desta força.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos um tanque cilíndrico horizontal cheio de álcool etílico, com algumas dimensões específicas. Precisamos encontrar:
A força total que o fluido exerce em uma das tampas laterais do tanque.
O ponto onde essa força atua.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática, que é a parte da física que estuda os fluidos em repouso e as forças que eles exercem. Vamos precisar calcular a pressão exercida pelo fluido e, com isso, determinar a força resultante e seu ponto de aplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o cenário. Imagine um tanque cilíndrico de 2,0 m de diâmetro e 4,0 m de comprimento, deitado na horizontal. As paredes laterais são planas e verticais. No topo do tanque, há um tubo vertical de diâmetro 0,1 m. O tanque e o tubo estão cheios de álcool etílico, e a superfície do líquido está 1,5 m acima do topo do tanque.
Passo 3
Vamos precisar calcular a profundidade do fluido na parede lateral do tanque. Como o tanque está na horizontal e cheio até 1,5 m acima do topo, a profundidade varia ao longo da parede.
A profundidade no centro traseiro do tanque será igual a 1,5 m mais o raio do tanque. O raio é metade do diâmetro:
Portanto, a profundidade máxima no centro é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a pressão exercida pelo fluido na parede. A pressão em um ponto em um fluido em repouso é dada por:
Onde:
é a densidade do álcool etílico ()
é a aceleração da gravidade ()
é a profundidade do fluido no ponto considerado
Passo 5
Para encontrar a força resultante sobre a tampa lateral, precisamos integrar a pressão sobre toda a área da parede. A força total é:
Como a pressão varia com a profundidade, a integral se torna:
Para uma parede vertical, , onde é o comprimento do tanque (4,0 m). Então:
Integramos de até :
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos determinar o ponto de aplicação dessa força. O ponto onde a força resultante atua, chamado de centro de pressão, pode ser encontrado usando a fórmula:
Aplicando os limites de integração de m a m:
Resposta
A força resultante exercida pelo fluido sobre uma das tampas laterais do tanque é de aproximadamente 81.112 N, e essa força atua a cerca de 1,86 metros acima do topo do tanque.