Um tanque cilíndrico apresenta diâmetro e comprimento respectivamente iguais a 2,0 e 4,0 m. O eixo do tanque está na horizontal e as paredes laterais do tanque são planas e verticais. Um tubo vertical, com diâmetro de 0,1 m, está conectado no topo do tanque. O tanque e o tubo estão preenchidos com álcool etílico e a superfície livre do fluido está a 1,5 m acima do topo do tanque. Determine a força resultante com que o fluido atua sobre uma das tampas laterais do tanque e determine o ponto de aplicação desta força.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos um tanque cilíndrico horizontal cheio de álcool etílico, com algumas dimensões específicas. Precisamos encontrar:
  1. A força total que o fluido exerce em uma das tampas laterais do tanque.
  2. O ponto onde essa força atua.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática, que é a parte da física que estuda os fluidos em repouso e as forças que eles exercem. Vamos precisar calcular a pressão exercida pelo fluido e, com isso, determinar a força resultante e seu ponto de aplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o cenário. Imagine um tanque cilíndrico de 2,0 m de diâmetro e 4,0 m de comprimento, deitado na horizontal. As paredes laterais são planas e verticais. No topo do tanque, há um tubo vertical de diâmetro 0,1 m. O tanque e o tubo estão cheios de álcool etílico, e a superfície do líquido está 1,5 m acima do topo do tanque.

Passo 3

Vamos precisar calcular a profundidade do fluido na parede lateral do tanque. Como o tanque está na horizontal e cheio até 1,5 m acima do topo, a profundidade varia ao longo da parede.
A profundidade r = 2,0 , m2 = 1,0 , m no centro traseiro do tanque será igual a 1,5 m mais o raio do tanque. O raio h = 1,5 , m + 1,0 , m = 2,5 , m é metade do diâmetro:
Portanto, a profundidade máxima no centro é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a pressão exercida pelo fluido na parede. A pressão P = rho cdot g cdot h em um ponto em um fluido em repouso é dada por:
Onde:
  • é a densidade do álcool etílico ( )
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a profundidade do fluido no ponto considerado

Passo 5

Para encontrar a força resultante sobre a tampa lateral, precisamos integrar a pressão sobre toda a área da parede. A força total F = integral P cdot dA é:
F = rho cdot g cdot integral h cdot dA
Como a pressão varia com a profundidade, a integral se torna:
F = rho cdot g cdot L cdot integral h , dh
Para uma parede vertical, F = rho cdot g cdot L cdot [ h^22 ]r^r + 1,5 , onde F = 789 cdot 9,81 cdot 4,0 cdot ( (2,5)^22 - (1,0)^22 ) é o comprimento do tanque (4,0 m). Então:
F = 789 cdot 9,81 cdot 4,0 cdot ( 6,25 - 1,02 )
Integramos de F = 789 cdot 9,81 cdot 4,0 cdot 2,625 até F approx 789 cdot 9,81 cdot 10,5 :
F approx 81.112 , N
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos determinar o ponto de aplicação dessa força. O ponto onde a força resultante atua, chamado de centro de pressão, pode ser encontrado usando a fórmula:
bary = integral h^2 , dhintegral h , dh
Aplicando os limites de integração de bary = h^33 g|1,0^2,5h^22 g|1,0^2,5 m a bary = 15,625 - 136,25 - 12 = 14,62535,252 = 4,8752,625 approx 1,857 , m acima do topo m:

Resposta

A força resultante exercida pelo fluido sobre uma das tampas laterais do tanque é de aproximadamente 81.112 N, e essa força atua a cerca de 1,86 metros acima do topo do tanque.

Exercícios relacionados