Um tanque cilíndrico com raio de 0,3m e altura de 0,8 m, cheio de água até o topo, gira em torno de um eixo vertical à velocidade 80 rpm . Determinar:
(a) O volume de água que será derramado
(b) A pressão em dois pontos do fundo do tanque, no eixo e junto à parede lateral

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tanque cilíndrico com raio de 0,3 metros e altura de 0,8 metros, totalmente cheio de água. Esse tanque está girando em torno de um eixo vertical a 80 rotações por minuto (rpm). Queremos descobrir duas coisas:
(a) Quanto de água vai derramar quando o tanque gira.
(b) Qual é a pressão em dois pontos diferentes no fundo do tanque: um no centro (eixo) e outro perto da parede.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional e hidrostática, além de algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade de rotação do tanque. As informações que temos são em rotações por minuto (rpm), mas para nossos cálculos, é mais fácil trabalhar com velocidade angular em radianos por segundo (rad/s).
A fórmula para converter rpm para rad/s é:
omega = 2pi times rpm60
Aqui, é a velocidade angular.

Passo 3

Vamos calcular omega = 2pi times 8060 = 160pi60 = 8pi3 approx 8.3776 , rad/s :
Então, a velocidade angular do nosso tanque é aproximadamente .

Passo 4

Quando o tanque gira, a água nele experimenta uma força centrífuga que faz a superfície da água se deformar, criando uma forma parabólica. Isso pode fazer com que parte da água derrame se a altura da água superar a altura do tanque.
A equação da superfície da água em rotação é:
h(r) = h0 - omega^2 r^22g
Onde:
  • é a altura da água a uma distância do eixo.
  • é a altura original da água (0,8 m).
  • é a velocidade angular.
  • é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 5

Para que a água derrame, a altura mínima da superfície ( 0 = h0 - omega^2 Rderr^22g omega^2 Rderr^22g = h0 Rderr^2 = 2g h0omega^2 Rderr = raiz2g h0omega^2 ) deve ser menor ou igual a zero. Vamos encontrar o raio Rderr = raiz2 times 9,81 times 0,8(8,3776)^2 approx raiz15,69670,13 approx raiz0,224 approx 0,473 , m onde :
Vamos calcular :

Passo 6

O raio do tanque é 0,3 m, mas encontramos que . Como é maior que o raio do tanque, isso significa que a água não vai derramar. A forma da superfície da água fica mais achatada, mas sem exceder a altura do tanque.

Passo 7

Portanto, a resposta para a parte (a) é que nenhuma água será derramada quando o tanque gira a 80 rpm.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): determinar a pressão em dois pontos no fundo do tanque, um no eixo e outro perto da parede.
A pressão em um ponto na água em rotação é dada por:
P = P0 + 12 rho omega^2 r^2
Onde:
  • é a pressão no ponto.
  • é a pressão atmosférica.
  • é a densidade da água ( ).
  • é a velocidade angular.
  • é a distância do ponto ao eixo.

Passo 9

Primeiro, vamos calcular a pressão no eixo ( Peixo = P0 + 12 times 1000 times (8,3776)^2 times 0^2 = P0 ):
Então, no eixo, a pressão é igual à pressão atmosférica.

Passo 10

Agora, vamos calcular a pressão perto da parede ( Pparede = P0 + 12 times 1000 times (8,3776)^2 times (0,3)^2 ):
Pparede = P0 + 500 times 70,13 times 0,09 approx P0 + 500 times 6,3117 approx P0 + 3155,85 , Pa
Vamos calcular:

Resposta

(a) Nenhuma água será derramada.
(b) A pressão no fundo do tanque no eixo é igual à pressão atmosférica , e perto da parede é .

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