Um tanque cilíndrico com raio de 0,3m e altura de
, cheio de água até o topo, gira em torno de um eixo vertical à velocidade 80 rpm . Determinar:
(a) O volume de água que será derramado
(b) A pressão em dois pontos do fundo do tanque, no eixo e junto à parede lateral
(a) O volume de água que será derramado
(b) A pressão em dois pontos do fundo do tanque, no eixo e junto à parede lateral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque cilíndrico com raio de 0,3 metros e altura de 0,8 metros, totalmente cheio de água. Esse tanque está girando em torno de um eixo vertical a 80 rotações por minuto (rpm). Queremos descobrir duas coisas:
(a) Quanto de água vai derramar quando o tanque gira.
(b) Qual é a pressão em dois pontos diferentes no fundo do tanque: um no centro (eixo) e outro perto da parede.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional e hidrostática, além de algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a velocidade de rotação do tanque. As informações que temos são em rotações por minuto (rpm), mas para nossos cálculos, é mais fácil trabalhar com velocidade angular em radianos por segundo (rad/s).
A fórmula para converter rpm para rad/s é:
Aqui,
é a velocidade angular.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, a velocidade angular do nosso tanque é aproximadamente
.
Passo 4
Quando o tanque gira, a água nele experimenta uma força centrífuga que faz a superfície da água se deformar, criando uma forma parabólica. Isso pode fazer com que parte da água derrame se a altura da água superar a altura do tanque.
A equação da superfície da água em rotação é:
Onde:
-
é a altura da água a uma distância do eixo. -
é a altura original da água (0,8 m). -
é a velocidade angular. -
é a aceleração da gravidade ( ).
Passo 5
Para que a água derrame, a altura mínima da superfície (
) deve ser menor ou igual a zero. Vamos encontrar o raio
onde
:
Vamos calcular
:
Passo 6
O raio do tanque é 0,3 m, mas encontramos que
. Como
é maior que o raio do tanque, isso significa que a água não vai derramar. A forma da superfície da água fica mais achatada, mas sem exceder a altura do tanque.
Passo 7
Portanto, a resposta para a parte (a) é que nenhuma água será derramada quando o tanque gira a 80 rpm.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b): determinar a pressão em dois pontos no fundo do tanque, um no eixo e outro perto da parede.
A pressão em um ponto na água em rotação é dada por:
Onde:
-
é a pressão no ponto. -
é a pressão atmosférica. -
é a densidade da água ( ). -
é a velocidade angular. -
é a distância do ponto ao eixo.
Passo 9
Primeiro, vamos calcular a pressão no eixo (
):
Então, no eixo, a pressão é igual à pressão atmosférica.
Passo 10
Agora, vamos calcular a pressão perto da parede (
):
Vamos calcular:
Resposta
(a) Nenhuma água será derramada.
(b) A pressão no fundo do tanque no eixo é igual à pressão atmosférica
, e perto da parede é
.
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