Um tanque esférico de aço (
, com um raio interno de 0,5 metros e uma espessura de 5 mm é revestido com
polegadas de lã de rocha (
). A temperatura na superfície interna do
tanque é de
, enquanto a temperatura na superfície externa do isolante é de
. Após alguns anos de uso, a lã de rocha foi substituída por outro material isolante com a mesma espessura, e observou-se um aumento de
na perda de calor para o ambiente (todas as outras condições permaneceram as mesmas). Dados: 1 polegada
. Determine:
c) Qual seria a espessura (em polegadas) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha.
tanque é de
c) Qual seria a espessura (em polegadas) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um tanque esférico de aço com certas dimensões e propriedades térmicas, revestido inicialmente com lã de rocha. A temperatura interna é de
e a externa do isolante é de
. Depois, a lã de rocha foi trocada por outro material isolante de mesma espessura, e a perda de calor aumentou
. Queremos descobrir qual deve ser a nova espessura do isolante para que a perda de calor volte ao que era originalmente com a lã de rocha. Vamos precisar usar conceitos de condução de calor e a fórmula de fluxo de calor para materiais em camadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a perda de calor através do isolante. Para isso, usamos a lei de condução de calor de Fourier:
onde:
-
é o fluxo de calor, -
é a condutividade térmica do material isolante, -
e são as temperaturas internas e externas, -
e são os raios interno e externo do isolante.
Passo 3
Vamos calcular o raio externo do isolante original. Sabemos que o raio interno do tanque é
metros e a espessura do isolante é
mm, que é
metros. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo de calor original usando a lã de rocha. A condutividade térmica da lã de rocha é
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Calculando o denominador:
Então:
Passo 6
Calculando os valores numéricos:
Passo 7
Foi observado que, após a troca do isolante, a perda de calor aumentou
. Então, o novo fluxo de calor é:
Passo 8
Queremos que o novo isolante tenha o mesmo fluxo de calor que o original, ou seja,
. Vamos chamar a nova espessura de
. A condutividade térmica do novo material é a mesma da lã de rocha (
). Usando a fórmula de fluxo de calor:
Queremos que
, então:
Passo 9
Resolvendo para
:
Calculando o lado direito:
Então:
Passo 10
Resolvendo a equação para
:
Resposta
A espessura do novo isolante deve ser de 5 polegadas para manter o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha.