Um tanque esférico de aço ( k=40 Kcal / h m ^circ C), com um raio interno de 0,5 metros e uma espessura de 5 mm é revestido com 11 / 2 polegadas de lã de rocha ( k=0,04 Kcal / h m ^circ C ). A temperatura na superfície interna do
tanque é de 220^circ C, enquanto a temperatura na superfície externa do isolante é de 30^circ C. Após alguns anos de uso, a lã de rocha foi substituída por outro material isolante com a mesma espessura, e observou-se um aumento de 10 % na perda de calor para o ambiente (todas as outras condições permaneceram as mesmas). Dados: 1 polegada =25,4 mm. Determine:
c) Qual seria a espessura (em polegadas) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um tanque esférico de aço com certas dimensões e propriedades térmicas, revestido inicialmente com lã de rocha. A temperatura interna é de e a externa do isolante é de . Depois, a lã de rocha foi trocada por outro material isolante de mesma espessura, e a perda de calor aumentou . Queremos descobrir qual deve ser a nova espessura do isolante para que a perda de calor volte ao que era originalmente com a lã de rocha. Vamos precisar usar conceitos de condução de calor e a fórmula de fluxo de calor para materiais em camadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a perda de calor através do isolante. Para isso, usamos a lei de condução de calor de Fourier:
Q = 4 pi k (Tint - Text)1rint - 1rext
onde:
  • é o fluxo de calor,
  • é a condutividade térmica do material isolante,
  • e são as temperaturas internas e externas,
  • e são os raios interno e externo do isolante.

Passo 3

Vamos calcular o raio externo do isolante original. Sabemos que o raio interno do tanque é rext = rint + espessura = 0,5, m + 0,005, m = 0,505, m metros e a espessura do isolante é mm, que é metros. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo de calor original usando a lã de rocha. A condutividade térmica da lã de rocha é Qoriginal = 4 pi times 0,04 times (220 - 30)10,5 - 10,505 . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Calculando o denominador:
10,5 - 10,505 = 2 - 1,9802 = 0,0198, m^-1
Então:
Qoriginal = 4 pi times 0,04 times 1900,0198

Passo 6

Calculando os valores numéricos:
Qoriginal = 4 times 3,1416 times 0,04 times 1900,0198 approx 4 times 3,1416 times 7,60,0198 approx 95,9870,0198 approx 4848,33, Kcal/h

Passo 7

Foi observado que, após a troca do isolante, a perda de calor aumentou Qnovo = Qoriginal times 1,10 = 4848,33 times 1,10 approx 5333,17, Kcal/h . Então, o novo fluxo de calor é:

Passo 8

Queremos que o novo isolante tenha o mesmo fluxo de calor que o original, ou seja, Qnovo = 4 pi times 0,04 times 19010,5 - 10,5 + De. Vamos chamar a nova espessura de 4 pi times 0,04 times 19010,5 - 10,5 + De. A condutividade térmica do novo material é a mesma da lã de rocha ( ). Usando a fórmula de fluxo de calor:
Queremos que , então:

Passo 9

Resolvendo para 10,5 - 10,5 + De:
4 times 3,1416 times 0,04 times 1904848,33 approx 95,9874848,33 approx 0,0198, m^-1
Calculando o lado direito:
10,5 - 10,5 + De
Então:

Passo 10

Resolvendo a equação para 2 - 10,5 + De:
10,5 + De
0,5 + De
De

Resposta

A espessura do novo isolante deve ser de 5 polegadas para manter o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha.

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