Um tanque de formato cúbico é utilizado para armazenar um produto químico a 320 ^circ C. A parede do tanque é constituída de uma camada interna à base de carbono (k=23 W / m cdot K) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário (k=0,25 W / m cdot K) e um invólucro de aço (k =60 W / m cdot K) com 10 mm de espessura. Por motivo de segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 42^circ C. Considerando que a temperatura ambiente é 31 ^circ C, com coeficiente de película externo de 25 W / m^2 cdot K, determine:
a) A espessura mínima do refratário para atender a condição de segurança;
b) A temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por uma de isolante (k=0,04) de mesma espessura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cúbico que armazena um produto químico a 320°C. As paredes do tanque têm três camadas: uma interna de carbono, uma intermediária que pode ser de refratário ou isolante, e uma externa de aço. A gente precisa calcular a espessura mínima da camada de refratário para garantir que a temperatura na superfície externa do aço não passe de 42°C, considerando que a temperatura ambiente é 31°C. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e resistência térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o calor passa através das camadas do tanque por condução, e da superfície externa do aço para o ambiente por convecção. A transferência de calor total será igual em todas as partes do caminho.
A resistência térmica total ( Rtotal = Rcarbono + Rrefratário + Raço + Rconvecção ) é a soma das resistências das camadas de carbono, refratário e aço, mais a resistência da convecção na superfície externa. A fórmula é:
áççã

Passo 3

Vamos calcular cada resistência térmica. A resistência de condução ( Rcond = Lk ) é dada por:
Rconv = 1h cdot A
Onde:
  • é a espessura da camada (em metros)
  • é a condutividade térmica (em W/m·K)
E a resistência de convecção ( ) é:
Como estamos considerando por unidade de área, podemos simplificar os cálculos dividindo todas as resistências por .

Passo 4

Vamos converter as espessuras para metros:
  • Carbono: 40 mm = 0,04 m
  • Aço: 10 mm = 0,01 m
  • Refratário: Rcarbono = 0,0423 approx 0,001739 , K/W (a gente vai encontrar)
Agora, calculamos as resistências:
Raço = 0,0160 approx 0,000167 , K/W
Rconvecção = 125 = 0,04 , K/W ç
çã

Passo 5

Agora, vamos montar a equação para a resistência total. A condição de segurança é que a temperatura na superfície externa do aço seja 42°C, então a diferença de temperatura total é:
De
A taxa de transferência de calor ( Q = De) é:
289 = Q cdot (Rcarbono + Rrefratário + Raço + Rconvecção)
Como queremos que a temperatura na superfície externa seja no máximo 42°C, vamos igualar a diferença de temperatura através das resistências:
áççã

Passo 6

Isolando Rrefratário = 289Q - (Rcarbono + Raço + Rconvecção) á:
Rrefratário = Deáççã
Mas como Q >= De também depende das resistências, podemos reorganizar a equação para encontrar á:
áççã
Para garantir que a temperatura não ultrapasse 42°C, precisamos que:
ççãá

Passo 7

Simplificando e resolvendo para Rrefratário = L0,25 (espessura do refratário):
289 = Q cdot (0,001739 + L0,25 + 0,000167 + 0,04) á
Substituindo na equação total:
2890,001739 + L0,25 + 0,000167 + 0,04 = Q
Como L0,25 = 289Q - (0,001739 + 0,000167 + 0,04) , podemos resolver para L = 0,25 ( 289Q - 0,041906 ) :
Isolando :
Para encontrar , vamos reordenar:

Passo 8

Para simplificar, assumimos que a transferência de calor é mínima quando a resistência do refratário é tal que a condição de temperatura seja atendida. Portanto:
Rtotal = 289Q
Substituindo os valores conhecidos:
Rtotal = Rcarbono + Rrefratário + Raço + Rconvecção = 0,001739 + L0,25 + 0,000167 + 0,04 áççã
Igualando a 289Q = 0,041906 + L0,25 :
Q = 2890,041906 + L0,25
E sabendo que:
L = 0,25 ( 289Q - 0,041906 )
Resolvendo para L approx 0,25 times ( 289Q - 0,041906 ) :
L approx espessura mínima do refratário
Depois de simplificar, encontramos:
Finalmente, resolvendo para :
íá

Resposta

A espessura mínima do refratário para atender à condição de segurança é aproximadamente 0,25 metros.

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