Taxas equivalentes, segundo Crespo (2009, p. 167), “são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo montante num mesmo tempo”. Com base nessa informação e dada a taxa 6,78% ao trimestre assinale a alternativa que forneça aproximadamente a taxa de juros equivalente ao ano, no regime de juros compostos.
A.20% a.a.
B.50% a.a.
C.10% a.a.
D.40% a.a. E.30% a.a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre taxas equivalentes. A gente sabe que uma taxa de 6,78% ao trimestre está nos dados e precisamos descobrir qual é a taxa anual equivalente a essa, considerando juros compostos. Para resolver isso, vamos usar a fórmula dos juros compostos e converter a taxa trimestral para anual.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula dos juros compostos:
M = C times (1 + i)^n
Onde:
  • $ M $ é o montante final,
  • $ C $ é o capital inicial,
  • $ i $ é a taxa de juros por período,
  • $ n $ é o número de períodos.

Passo 3

Aqui, queremos encontrar a taxa anual equivalente ($ i_{anual} $) que vai nos dar o mesmo montante que uma taxa de 6,78% ao trimestre em 1 ano. Como um ano tem 4 trimestres, temos $ n = 4 $.

Passo 4

Vamos igualar os montantes para ambas as taxas. Assim, temos:
(1 + ianual) = (1 + itrimestral)^4
Onde $ i_{trimestral} = 0,0678 $ (6,78% em forma decimal).

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
1 + ianual = (1 + 0,0678)^4
Agora, vamos calcular $ (1 + 0,0678)^4 $.

Passo 6

Calculando $ (1,0678)^4 $:
(1,0678)^4
Isso significa que:
(1,0678)^4 approx 1,310

Passo 7

Agora, subtraindo 1 de ambos os lados para encontrar $ i_{anual} $:
ianual
Convertendo para porcentagem:
ianual approx 0,310

Resposta

A taxa de juros equivalente ao ano, no regime de juros compostos, é aproximadamente 30% a.a. (Alternativa E).

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