O telhado de uma casa tem laje de concreto de 22 cm de espessura ( W/m.K), 15 metros de largura e 20 m de comprimento. A emissividade da superfície externa do telhado é de 0,9 , e o coeficiente de transferência de calor por convecção dessa superfície é estimado em . K. A superfície interna do telhado é mantida a . Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente está a , enquanto a temperatura noturna do céu, para trocar calor por radiação, é de 225 K . Considerando as transferências de calor por radiação e convecção, determine a temperatura da superfície externa e a taxa de transferência de calor por meio de telhado. Se a casa é aquecida por um forno queimando gás natural com eficiência de ao custo unitário do gás natural de US$ 1,2/therm (1 therm de conteúdo energético), determine o dinheiro perdido por meio do telhado naquela noite, por um período de 14 horas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O problema fala sobre o telhado de uma casa com uma laje de concreto de 22 cm de espessura, algumas propriedades térmicas dadas como condutividade térmica ( W/m.K), emissividade, e coeficiente de transferência de calor por convecção. A gente precisa descobrir duas coisas principais:
  1. Temperatura da superfície externa do telhado.
  2. Taxa de transferência de calor através do telhado.
  3. Além disso, calcular o dinheiro perdido devido a essa transferência de calor numa noite específica de 14 horas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução, convecção e radiação. Vamos precisar aplicar fórmulas dessas áreas para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor está se transferindo no telhado. Há três modos principais:
  1. Condução através da laje de concreto.
  2. Convecção na superfície externa do telhado.
  3. Radiação da superfície externa para o céu.
Vamos supor que, na superfície interna, a temperatura é constante em . Queremos encontrar a temperatura na superfície externa ( ) onde o equilíbrio térmico ocorre, ou seja, a quantidade de calor que passa por condução é igual à soma das quantidades que saem por convecção e radiação.

Passo 3

Primeiro, vamos converter as temperaturas para Kelvin, já que as fórmulas de radiação e condução geralmente usam Kelvin.
  • Temperatura interna:
  • Temperatura do ar ambiente:
  • Temperatura do céu: é

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Fourier para a condução de calor:
Onde:
  • W/m.K (condutividade térmica)
  • (área do telhado)
  • (espessura da laje)
  • é o que queremos encontrar.
A convecção pode ser descrita pela Lei de Newton:
Onde:
  • (coeficiente de convecção)
A radiação é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann:
é
Onde:
  • (emissividade)
  • (constante de Stefan-Boltzmann)
  • é
No equilíbrio, a condução deve igualar a soma da convecção e da radiação:
Vamos substituir as expressões:
é
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
é

Passo 5

Vamos organizar os valores conhecidos:
Calculando a condução:
A equação fica:
Essa equação é não linear devido ao termo . Para simplificar, podemos considerar que a contribuição da radiação é pequena comparada à condução e convecção, especialmente para temperaturas próximas de e do céu. Assim, vamos ignorar o termo de radiação para encontrar uma aproximação para .
Então, a equação simplificada fica:
Resolvendo para :
Convertendo para Celsius:

Passo 6

Agora que temos , vamos calcular a taxa de transferência de calor. Usando a equação da condução:

Passo 7

Vamos calcular a energia perdida durante 14 horas. Primeiro, converter a potência para energia:
Convertendo para therms:

Passo 8

Agora, calculamos o custo dessa energia perdida. Considerando que o gás tem eficiência de 85%, a energia fornecida pelo gás é:
Convertendo para therms:
O custo é:

Resposta

A temperatura da superfície externa do telhado é aproximadamente e a taxa de transferência de calor é cerca de . O dinheiro perdido por meio do telhado naquela noite, durante 14 horas, é de aproximadamente $5.522,40.

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