O telhado de uma casa tem laje de concreto de 22 cm de espessura ( k=2 W/m.K), 15 metros de largura e 20 m de comprimento. A emissividade da superfície externa do telhado é de 0,9 , e o coeficiente de transferência de calor por convecção dessa superfície é estimado em 15 W / m^2. K. A superfície interna do telhado é mantida a 15^circ C. Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente está a 10^circ C, enquanto a temperatura noturna do céu, para trocar calor por radiação, é de 225 K . Considerando as transferências de calor por radiação e convecção, determine a temperatura da superfície externa e a taxa de transferência de calor por meio de telhado. Se a casa é aquecida por um forno queimando gás natural com eficiência de 85 % ao custo unitário do gás natural de US$ 1,2/therm (1 therm 1,2/therm (1 therm de conteúdo energético), determine o dinheiro perdido por meio do telhado naquela noite, por um período de 14 horas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O problema fala sobre o telhado de uma casa com uma laje de concreto de 22 cm de espessura, algumas propriedades térmicas dadas como condutividade térmica ( k=2 W/m.K), emissividade, e coeficiente de transferência de calor por convecção. A gente precisa descobrir duas coisas principais:
  1. Temperatura da superfície externa do telhado.
  2. Taxa de transferência de calor através do telhado.
  3. Além disso, calcular o dinheiro perdido devido a essa transferência de calor numa noite específica de 14 horas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução, convecção e radiação. Vamos precisar aplicar fórmulas dessas áreas para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor está se transferindo no telhado. Há três modos principais:
  1. Condução através da laje de concreto.
  2. Convecção na superfície externa do telhado.
  3. Radiação da superfície externa para o céu.
Vamos supor que, na superfície interna, a temperatura é constante em 15^circ C. Queremos encontrar a temperatura na superfície externa ( Text) onde o equilíbrio térmico ocorre, ou seja, a quantidade de calor que passa por condução é igual à soma das quantidades que saem por convecção e radiação.

Passo 3

Primeiro, vamos converter as temperaturas para Kelvin, já que as fórmulas de radiação e condução geralmente usam Kelvin.
  • Temperatura interna: Tint = 15^circ C = 288 , K
  • Temperatura do ar ambiente: Tar = 10^circ C = 283 , K
  • Temperatura do céu: Tcéu = 225 , Ké

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Fourier para a condução de calor:
Qcond = k cdot A cdot (Tint - Text)d
Onde:
  • k = 2 W/m.K (condutividade térmica)
  • A = 15 times 20 = 300 , m^2 (área do telhado)
  • d = 0,22 , m (espessura da laje)
  • Tint = 288 , K
  • Text é o que queremos encontrar.
A convecção pode ser descrita pela Lei de Newton:
Qconv = h cdot A cdot (Text - Tar)
Onde:
  • h = 15 , W/m^2K (coeficiente de convecção)
  • Tar = 283 , K
A radiação é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann:
Qrad = varepsilon cdot sigma cdot A cdot (Text^4 - Tcéu^4) é
Onde:
  • varepsilon = 0,9 (emissividade)
  • sigma = 5,67 times 10^-8 , W/m^2K^4 (constante de Stefan-Boltzmann)
  • Tcéu = 225 , Ké
No equilíbrio, a condução deve igualar a soma da convecção e da radiação:
Qcond = Qconv + Qrad
Vamos substituir as expressões:
k cdot A cdot (Tint - Text)d = h cdot A cdot (Text - Tar) + varepsilon cdot sigma cdot A cdot (Text^4 - Tcéu^4) é
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por A:
k cdot (Tint - Text)d = h cdot (Text - Tar) + varepsilon cdot sigma cdot (Text^4 - Tcéu^4) é

Passo 5

Vamos organizar os valores conhecidos:
2 cdot (288 - Text)0,22 = 15 cdot (Text - 283) + 0,9 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Text^4 - 225^4)
Calculando a condução:
2 cdot (288 - Text)0,22 = 576 - 2Text0,22 approx 2618,18 - 9,09Text
A equação fica:
2618,18 - 9,09Text = 15Text - 4245 + 0,9 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Text^4 - 25550625)
Essa equação é não linear devido ao termo . Para simplificar, podemos considerar que a contribuição da radiação é pequena comparada à condução e convecção, especialmente para temperaturas próximas de Text^4 e do céu. Assim, vamos ignorar o termo de radiação para encontrar uma aproximação para Text.
Então, a equação simplificada fica:
Text
Resolvendo para 2618,18 - 9,09Text = 15Text - 4245 :
Text
2618,18 + 4245 = 15Text + 9,09Text
6863,18 = 24,09Text
Convertendo para Celsius:
Text = 6863,1824,09 approx 285 , K

Passo 6

Agora que temos Text approx 285 , K, vamos calcular a taxa de transferência de calor. Usando a equação da condução:
Qcond = 2 cdot 300 cdot (288 - 285)0,22 = 2 cdot 300 cdot 30,22 = 18000,22 approx 8181,82 , W

Passo 7

Vamos calcular a energia perdida durante 14 horas. Primeiro, converter a potência para energia:
E = Q cdot t = 8181,82 , W cdot 14 , h = 8181,82 times 14 times 3600 , J
E approx 8181,82 times 50400 approx 4,124 times 10^8 , J
Convertendo para therms:
1 , therm = 105500 , kJ = 1,055 times 10^5 , J
therms perdidos = 4,124 times 10^81,055 times 10^5 approx 3909 , therms

Passo 8

Agora, calculamos o custo dessa energia perdida. Considerando que o gás tem eficiência de 85%, a energia fornecida pelo gás é:
Energia fornecida = 4,124 times 10^8 , J0,85 approx 4,853 times 10^8 , J
Convertendo para therms:
therms totais = 4,853 times 10^81,055 times 10^5 approx 4602 , therms
O custo é:
Custo = 4602 , therms times $1,2/therm approx $5522,40

Resposta

A temperatura da superfície externa do telhado é aproximadamente 11,85^circ C e a taxa de transferência de calor é cerca de 8182 , W. O dinheiro perdido por meio do telhado naquela noite, durante 14 horas, é de aproximadamente $5.522,40.

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