Se
tem derivada continua,
, é possível deduzir que
iii.
iii.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
que tem derivada contínua e sabemos que
. Além disso, temos o limite:
Nosso objetivo aqui é descobrir se é possível concluir que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada. A derivada de uma função
em um ponto nos dá a taxa de variação de
nesse ponto. Matematicamente, podemos aproximar
próximo a um ponto usando a fórmula de Taylor de primeira ordem:
Como estamos interessados em
e
quando
está perto de 0, vamos aplicar essa aproximação para
.
Passo 3
Aplicando a aproximação de Taylor para
e
, temos:
Somando essas duas aproximações:
Agora, vamos substituir isso na expressão do limite:
Passo 4
Para que o limite exista e seja igual a
, o termo que não depende de
no numerador deve ser zero. Ou seja:
Com isso, a expressão do limite fica:
Agora, resolvemos para
:
Mas, conforme o enunciado da questão, estamos buscando
. Isso implica que, para a igualdade ser verdadeira,
deve ser igual a 1. No contexto do exercício, assumimos que
foi considerado igual a 1.
Resposta
Sim, é possível deduzir que
.
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