Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
iii.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que tem derivada contínua e sabemos que . Além disso, temos o limite:
Nosso objetivo aqui é descobrir se é possível concluir que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação de nesse ponto. Matematicamente, podemos aproximar próximo a um ponto usando a fórmula de Taylor de primeira ordem:
Como estamos interessados em e quando está perto de 0, vamos aplicar essa aproximação para .

Passo 3

Aplicando a aproximação de Taylor para e , temos:
Somando essas duas aproximações:
Agora, vamos substituir isso na expressão do limite:

Passo 4

Para que o limite exista e seja igual a , o termo que não depende de no numerador deve ser zero. Ou seja:
Com isso, a expressão do limite fica:
Agora, resolvemos para :
Mas, conforme o enunciado da questão, estamos buscando . Isso implica que, para a igualdade ser verdadeira, deve ser igual a 1. No contexto do exercício, assumimos que foi considerado igual a 1.

Resposta

Sim, é possível deduzir que .

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