Se f tem derivada continua, f^prime(2)=4 e lim x 0 f(A x+2)+f(B x+2)3 x=16, é possível deduzir que
ii. A+B=38

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que tem derivada contínua e sabemos que . Além disso, temos o limite . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a soma de . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a derivada no ponto f(2 + h) approx f(2) + f'(2) cdot h . Como tem derivada contínua em , podemos usar a aproximação linear de perto desse ponto. Ou seja, para valores pequenos de , temos:
Isso nos ajuda a simplificar as expressões dentro do limite.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa aproximação nas expressões f(Ax + 2) approx f(2) + f'(2) cdot Ax e f(Bx + 2) approx f(2) + f'(2) cdot Bx . Seja f(Ax + 2) + f(Bx + 2) approx 2f(2) + f'(2) cdot (A + B)x e . Então:
Somando essas duas aproximações:

Passo 4

Vamos substituir essa aproximação na expressão do limite:
limx 0 2f(2) + f'(2) cdot (A + B)x3x = 16
Perceba que 2f(2) = 0 Rightarrow f(2) = 0 é uma constante e, dividido por , tende ao infinito quando tende a zero, a menos que . Para que o limite exista e seja igual a , a constante deve ser zero. Assim:

Passo 5

Com limx 0 f'(2) cdot (A + B)x3x = 16 , a expressão do limite fica:
f'(2) cdot (A + B)3 = 16
Os 4e cdot (A + B)3 = 16 se cancelam:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Agora, vamos resolver para 4e cdot (A + B) = 36 = 12 :
A + B = 12 cdot 4e = 18e
4e cdot (A + B)3 = 16 Rightarrow 4e cdot (A + B) = 36 Rightarrow 4e cdot (A + B) = 12
Mas, como nosso objetivo é encontrar A + B = 12 cdot 4e = 18e , percebemos que deve haver uma correção. Revisando os passos, percebemos que há uma simplificação errada. Vamos refazer a equação correta:
Parece que houve um erro no enunciado ou nos cálculos iniciais. Se considerarmos que a resposta correta deve ser , então provavelmente deveria ser diferente. Mas seguindo os dados fornecidos:

Resposta

Exercícios relacionados