Se tem derivada continua, , é possível deduzir que
ii.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que tem derivada contínua e sabemos que . Além disso, temos o limite . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a soma de . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a derivada no ponto . Como tem derivada contínua em , podemos usar a aproximação linear de perto desse ponto. Ou seja, para valores pequenos de , temos:
Isso nos ajuda a simplificar as expressões dentro do limite.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa aproximação nas expressões e . Seja e . Então:
Somando essas duas aproximações:
Passo 4
Vamos substituir essa aproximação na expressão do limite:
Perceba que é uma constante e, dividido por , tende ao infinito quando tende a zero, a menos que . Para que o limite exista e seja igual a , a constante deve ser zero. Assim:
Passo 5
Com , a expressão do limite fica:
Os se cancelam:
Sabemos que , então substituímos:
Passo 6
Agora, vamos resolver para :
Mas, como nosso objetivo é encontrar , percebemos que deve haver uma correção. Revisando os passos, percebemos que há uma simplificação errada. Vamos refazer a equação correta:
Parece que houve um erro no enunciado ou nos cálculos iniciais. Se considerarmos que a resposta correta deve ser , então provavelmente deveria ser diferente. Mas seguindo os dados fornecidos: