Se
tem derivada continua,
, é possível deduzir que
ii.
ii.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que tem derivada contínua e sabemos que
. Além disso, temos o limite
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a soma de
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a derivada no ponto
. Como
tem derivada contínua em
, podemos usar a aproximação linear de
perto desse ponto. Ou seja, para valores pequenos de
, temos:
Isso nos ajuda a simplificar as expressões dentro do limite.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa aproximação nas expressões
e
. Seja
e
. Então:
Somando essas duas aproximações:
Passo 4
Vamos substituir essa aproximação na expressão do limite:
Perceba que
é uma constante e, dividido por
, tende ao infinito quando
tende a zero, a menos que
. Para que o limite exista e seja igual a
, a constante
deve ser zero. Assim:
Passo 5
Com
, a expressão do limite fica:
Os
se cancelam:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Mas, como nosso objetivo é encontrar
, percebemos que deve haver uma correção. Revisando os passos, percebemos que há uma simplificação errada. Vamos refazer a equação correta:
Parece que houve um erro no enunciado ou nos cálculos iniciais. Se considerarmos que a resposta correta deve ser
, então provavelmente
deveria ser diferente. Mas seguindo os dados fornecidos: